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2026 수능완성 미적분 실전모의고사 5회 - 수업 노트

xandy — Mon, 4 Aug 2025 22:21:25 +0900

10번

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\)
위의 점 \((1, 0)\)에서의 접선의 기울기가 1이고, 곡선
\(y=(x-2)f(x)\) 위의 점 \((2, 0)\)에서의 접선의 기울기가 4일
때, \(f(-1)\)의 값은? [4점]

① \(-5\) ② \(-4\) ③ \(-3\) ④ \(-2\) ⑤ \(-1\)

\( f(x)=(x-1)(x^2+ax+b) \)라고 할 수도 있지만 다른 방법도 있다.
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- 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((1,0)\)에서의 접선 \(y=x-1\)을 \(y=f(x)\)에서 빼면 다음과 같이 표현할 수 있다.
- \( f(x)-(x-1) = (x-1)^2(x-\alpha)\)
- \(g(x)=f(x)-(x-1)\)이라 하면, \(g(1)=0\)에서 \(g'(1)=0\)이기 때문이다.

11번

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)에 대하여
\( \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2} \)
이다. 상수 \(k\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가
\( g(x)=\begin{cases} \cfrac{x(x+1)}{f(x)} & (f(x) \ne 0) \\ k & (f(x)=0) \end{cases} \)
이고 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(f(1)\)의 값
은? [4점]

① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8

우선 \(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2}\) 이므로 \(f(0)=0\), \(f'(0)=2\)이 되어 \(f(x)=x(x^3+ax^2+bx+2)\)이다.
따라서 \(\cfrac{x(x+1)}{f(x)}=\cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2}\)이다. 그리고 함수 \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 연속이다.
- \(f(0)=0\) 이므로 \(g(0)=k\) 이다. 이제 \(x=0\)에서 극한값과 같음을 이용하자.
- 그리고 \(k=g(0)=\displaystyle{\lim_{x \to 0} g(x)}\)\(\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \cfrac{x(x+1)}{f(x)}}\)
  \(\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2}}\)\(=\cfrac{1}{2}\)
- 그런데 너무나 자연스럽게 \(\displaystyle{\lim_{x \to 0} g(x)}\)\(\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \cfrac{x(x+1)}{f(x)}}\)이라고 했는데, 정말 그런가?
  - \(x=0\)에서 함수 \(g(x)\)의 극한은 \(x\)가 \(0\)이 아니면서 \(0\)에 한없이 가까워져야 한다.
  - 다시 말해, \(x \ne 0\)이면 \(g(x)=\cfrac{x(x+1)}{f(x)}\)인가? 아니다.
  - \(g(x)=\cfrac{x(x+1)}{f(x)}\)가 되기 위해서는 \(x \ne 0\)이 필요한 것이 아니고, \(f(x) \ne 0\)이 필요하다.
  - 그러면 \(x \ne 0\)이면, \(f(x) \ne 0\)이라고 할 수 있을까? 일반적으로 다항함수에서 그렇지 않다.
    더보기
    다항함수의 성질로 간과하기 쉬운 것이지만 직관적으로 이해할 수 있는 중요한 성질이 있다.
    
    상수함수가 아닌 다항함수의 함숫값은 계속 변화한다는 것이다.
    
    상수함수가 아닌 다항함수의 그래프를 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.
    
    \(f(0)=0\)에 이 특징을 활용하면 다음과 같은 열린구간이 존재함을 이해할 수 있다.
    
    \(x=0\)에서 함수 \(f(x)\)의 함숫값이 \(0\)이므로
    「\(x=0\)에서만 \(f(x)=0\)이고 \(0\)이 아닌 \(x\)에서는 \(f(x) \ne 0\)」이 되는
    \(x=0\)을 포함하는 열린구간이 존재한다.
    
    따라서 그러한 열린구간에서는 \(x \ne 0\)이면, \(f(x) \ne 0\)이다.
한편, 이제 함수 \(g\)는 다음과 같다.
\( g(x)=\begin{cases} \cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2} & (f(x) \ne 0) \\ \cfrac{1}{2} & (f(x)=0) \end{cases} \)
혹시 여기서 \(x=-1\)이면 분자가 \(0\)이 되니까 분모도 \(0\)이 될 것이라 생각했다면 다시 생각해보자.
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- 분모의 삼차함수는 적어도 한 근 \(\alpha\)를 갖는다.
- 삼차함수의 그래프를 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.
- 그러면 \(x=0\)일 때와 같은 방법에 의해 다음이 성립한다.
- \(\cfrac{1}{2}=g(\alpha)=\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} g(x)}\)\(\displaystyle{=\lim_{x \to \alpha} \cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2}}\)
- 따라서 양변에 등식 \(0=\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} x^3+ax^2+bx+2}\)을 각각 곱하면
- \(0=\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} x+1}=\alpha +1\)이 되어 \(\alpha = -1\)이다.

2026 수능완성 미적분 실전모의고사 4회 - 수업 노트

xandy — Fri, 1 Aug 2025 00:19:47 +0900

8번

두 상수 \(a, b\)에 대하여 함수
\( f(x)=\begin{cases} x & (x<b-2 \text{ 또는 } x>b+2) \\ x^2-5x+a & (b-2 \le x \le b+2) \end{cases} \)
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(a+b\)의 값은? [3점]

① 6 ② 8 ③ 10 ④ 12 ⑤ 14

연속이라고 \(x=b \pm 2\)에서 함숫값과 극한값이 같다는 기계적인 생각만 할텐가?
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- \(x= b \pm 2\)는 함수 \(x\)와 함수 \(x^2-5x+a\)의 두 교점의 \(x\)좌표이고, 두 교점의 \(x\)좌표 사이의 거리가 4이다.

9번

다음 조건을 만족시키는 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 \(4\pi\)일
때, 삼각형 ABC의 넓이는? [4점]

(가) \(\sin A = \sin C\)
(나) \(\sin A \sin B = \cos C \cos \left(\frac{\pi}{2}-B\right)\)

① \(2\sqrt{2}\) ② \(\sqrt{10}\) ③ \(2\sqrt{3}\) ④ \(\sqrt{14}\) ⑤ 4

\(\sin A = \sin C\) 이면 \(A=C\) 이다.
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- 삼각형의 세 내각의 합은 \(\pi\)이다. · · · ⓐ
- 따라서, \(C\)와 \(A\)는 \(0\)과 \(pi\) 사이의 값이다.
- 그러면 \(C\)는 \(A\) 또는 \(\pi-A\)이고,
- \(C=\pi-A\)이면 ⓐ에 모순되므로 \(C=A\)이다.

11번

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬
때, \(f(2)\)의 값은? [4점]

(가) 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(\lim_{x \to t} \frac{f(x)-f(-x)}{x-t}\)의 값이 존재한다.
(나) 곡선 \(y=f(x)\) 위A 점 \((1, 7)\)에서의 접선의 \(y\)절편이 \(-1\)이다.

① 28 ② 30 ③ 32 ④ 34 ⑤ 36

조건 (가)에 의해 사차함수 \(f(x)\)가 우함수임을 파악했을 것이다.
따라서 \(f(x)\)는 홀수 차수의 항을 갖지 않는다.
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- \(f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\)라 하자.
- \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=f(x)\)\(=f(-x)=x^4-ax^3+bx^2-cx+d\)
- 따라서 \(2ax^3+2cx=0\)이다. · · · ⓑ
- 그리고 \(f(x)\)의 정의역은 모든 실수이므로 ⓑ는 모든 실수에 대하여 성립하는 항등식이다.
- 그러므로 \(a=c=0\)이다.

12번

\(a_1 = -9\)이고 공차가 \(d\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항
까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_p=S_q\)를 만족시키는 서로 다른 두 자
연수 \(p, q\) (\(p<q\))의 모든 순서쌍 \((p, q)\)의 개수가 4가 되도록
하는 모든 실수 \(d\)의 값의 합은? [4점]

① \(\frac{15}{4}\) ② 4 ③ \(\frac{17}{4}\) ④ \(\frac{9}{2}\) ⑤ \(\frac{19}{4}\)

등차수열은 정의역이 자연수인 1차 함수이다.
그리고 놓치기 쉽지만, 등차수열의 합은 정의역이 자연수인 2차 함수이다.

15번

최고차항의 계수가 1이고 \(f(-1)=0\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 최고
차항의 계수가 1이고 \(g(\alpha)=0\) (\(\alpha<-1\))인 이차함수 \(g(x)\)가
다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=\alpha\)에서만 미분가능하지 않다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle{\int_\alpha^x f(t)g(t)dt \ge 0}\)이다.
(다) 다항함수 \(h(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
\((x+1)h(x)=f(x)g(x)\)
일 때, 함수 \(h(x)\)의 극솟값은 \(-27\)이다.

방정식 \(h'(x)=0\)을 만족시키는 서로 다른 모든 실수 \(x\)의 값의
합은? [4점]

① \(-9\) ② \(-8\) ③ \(-7\) ④ \(-6\) ⑤ \(-5\)

조건 (가)는 지금까지 4회의 실전모의고사에서 매우 자주 등장하는 조건이다.
- 만약 \(f(\alpha) \ne 0\) 이면 \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)를 포함하는 어떤 열린구간에서도 \(f(x) \ne 0\) 이다.
- 따라서 그 \(x=\alpha\)를 포함하는 열린구간에서 \(|f(x)|=\pm f(x)\)이므로
- 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=\alpha\)에서 미분가능하게 되어 (가)에 모순된다.
- 한편, \(f(-1)=0\)이고 \(\alpha \ne -1\) 이므로 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=1\)에서 미분가능해야 한다.
- 그러므로 접선이 \(x\)축이 되어야만 한다. 즉, \(f'(-1)=0\) 이다.
조건 (나)에서 정적분의 위끝인 \(x\)가
- \(\alpha\) 보다 크면, \(f(x)g(x) \ge 0\) 이고
- \(\alpha\) 보다 작으면, \(f(x)g(x) \le 0\) 이다.

20번

양수 \(a\)와 \(0 \le t \le 1\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식
\( \left(\sin \cfrac{2x}{a}-t\right)\left(\cos \cfrac{2x}{a}-t\right)=0 \)
의 실근 중에서 집합 \(\{x \mid 0 \le x \le 2a\pi\}\)에 속하는 모든 값을 작
은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n\) (\(n\)은 자
연수)라 할 때, \(\alpha_n\)이 다음 조건을 만족시킨다.

\(d \ne 3\)인 자연수 \(d\)에 대하여
\(\alpha_3-\alpha_1=d\pi, \alpha_4-\alpha_2=6\pi-d\pi\)
이다.

\(t \times (10a+d)\)의 값을 구하시오. [4점]

조건에서 주어진 두식을 더하면 무언가 간단히 될 것처럼 보인다.
더보기
- \((\alpha_3-\alpha_1)+(\alpha_4-\alpha_2)=6\pi\)이고,
- \(\alpha_3-\alpha_1 \ne 3\pi\)이라고 했다.
- 다시 말해, \(\alpha_3-\alpha_1\)과 \(\alpha_4-\alpha_2\)의 합은 \(6\pi\)이지만 같지 않다.

22번

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\( a_{n+1}=\begin{cases} a_n+3 & (|a_n|<8) \\ -\cfrac{1}{3}a_n & (|a_n|\ge8) \end{cases} \)
을 만족시킨다. 모든 자연수 \(k\)에 대하여
\( a_{3+5k}=a_3 \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^k \)
이고, 부등식 \(|a_m|\ge8\)을 만족시키는 100 이하의 자연수 \(m\)의
개수가 20 이상이 되도록 하는 모든 정수 \(a_1\)의 값의 합을 구하시
오. [4점]

다음은 수능완성에서 제공하는 22번 문제의 풀이의 첫 부분이다.
- 모든 자연수 \(k\)에 대하여
  \(a_{3+5k}=a_3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^k\), 즉 \(a_{5k+3}=a_{5k-2} \times \left(-\frac{1}{3}\right)\)
  이고, \(a_{5k+3}\)은 \(a_{5k-2}\)에서 \(+3\) 또는 \(\times \left(-\frac{1}{3}\right)\)을 5회 연산하여 결정된다.
  \(\times \left(-\frac{1}{3}\right)\)을 \(n\)회 (\(1 \le n \le 5\)) 연산하면
  \(a_{5k+3}=a_{5k-2} \times \left(-\frac{1}{3}\right)^n+\alpha\) (\(\alpha\)는 상수)
  이므로 \(\times \left(-\frac{1}{3}\right)\)을 1회만 연산해야 하고, \(+3\)을 4회 연산해야 한다.
풀이에서 발췌한 부분에서 정말 중요한 지점은 「모든 자연수 \(k\)」이다.
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- \(k=1\)이면 \(a_8=-\cfrac{1}{3}a_3\) 이다. · · · ⓒ
- \(k=2\)이면 \(a_{13}=\cfrac{1}{9}a_3\) 이므로
  ⓒ에 의해 \(a_{13}=-\cfrac{1}{3}a_8\) 이다.
- 풀이와 같이 \(a_{8}=a_{3} \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\alpha\) (\(\alpha\)는 상수) 라고 표현하면,
- \(a_{13}=a_{8} \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\alpha\) 도 성립해야 한다. 모든 자연수 \(k\)에 대하여 성립하기 때문이다.
- 따라서, \(\left( \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\cfrac{1}{3} \right) a_3 = -\alpha \) 이고, · · · ⓓ
  \(\left( \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\cfrac{1}{3} \right) a_8 = -\alpha \) 이다. · · · ⓔ
- 특히, ⓔ의 \(a_8\)에 \(-\cfrac{1}{3}a_3\)를 대입하고 그 좌변에서 ⓓ를 이용하여 \(\left( \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\cfrac{1}{3} \right) a_3\)을 \(-\alpha\)로 바꾸면, \(-\cfrac{1}{3}\times(-\alpha)=-\alpha\)가 되어 \(\alpha=0\) 이다.
- 따라서 \(a_{3} \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n=a_{8}=-\cfrac{1}{3}a_3\)이므로 \(n=1\)이다.

2026 수능완성 미적분 실전모의고사 3회 - 수업 노트

xandy — Tue, 29 Jul 2025 16:59:32 +0900

7번

\(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)에 대하여
\(\log_c a=2 \log_b a\), \(\log_a b+\log_a c=2\) 일 때, \(\log_a b-\log_a c\)의 값은? [3점]

① \(\frac{1}{6}\) ② \(\frac{1}{3}\) ③ \(\frac{1}{2}\) ④ \(\frac{2}{3}\) ⑤ \(\frac{5}{6}\)

미지수가 정말 세 개로 보이는가?
더보기
- 밑을 \(a\)로 통일하여 간단한 문자로 치환하여 문제를 해결하자.

8번

함수 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+a\)에 대하여 함수 \(|f(x)|\)가
\(x=p\), \(x=q\) (\(p<q\))에서 극대이고, \(|f(p)| > |f(q)|\)를 만족
시키는 모든 정수 \(a\)의 개수는? (단, \(p, q\)는 상수이다.) [3점]

① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15

\(p\)와 \(q\)를 구하고 \(f(p)\)와 \(f(q)\)를 구하는 과정에서 그냥 대입하려고 했나?
더보기
- \(p=-1\)이므로 \(f(p)\)는 그냥 대입하여 구하지만,
- \(q=2\)이므로 \(f(q)\)를 구할 때는 조립제법을 사용하여 혹시 발생할 수 있는 계산 실수를 방지할 수 있다.

11번

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 위치
를 각각 \(x_1(t), x_2(t)\)라 하면 \(x_1(0)=1, x_2(0)=5\)이고, 두 점
P, Q의 시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 속도는 각각
\( v_1(t)=4t^2-9t+3 \), \( v_2(t)=t^2-3t+12 \)
이다. \(x_1(t) \le x_2(t)\)인 시각 \(t\)에 대하여 두 점 P, Q 사이의 거
리는 시각 \(t=a(a \ge 0)\)일 때 최댓값 \(M\)을 갖는다. \(a+M\)의 값은? [4점]

① 30 ② 32 ③ 34 ④ 36 ⑤ 38

속도를 통해 위치를 구하는 방법을 정확히 이해하고 있는가?
더보기
- 시각 \(t\)에서의 위치를 속도를 통해 구하려면
- 출발하는 시각인 \(t=0\)에서 현재 시각인 \(t\)까지 위치의 변화량을 구해야 한다.
- 위치의 변화량 \(x(t)-x(0)\)은 \( x(t)-x(0)=\int_0^t x'(t) dt=\int_0^t v(t) dt \) 이다.
- 그러므로 \(x(t)\)는 \( x(t)=\int_0^t v(t) dt \) 이다.

12번

모든 항이 자연수인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\( a_{n+1}=\begin{cases} a_n+3 & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\ \cfrac{a_n}{2}+5 & (a_n \text{이 짝수인 경우}) \end{cases} \)
를 만족시킬 때, \(a_{30}=10\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은? [4점]

① 21 ② 22 ③ 23 ④ 24 ⑤ 25

주어진 조건에서 \(a_{30}\)의 값을 알려주었으므로 \(a_{30}\)으로부터 역으로 \(a_1\)까지 추적할 수 있다.
추적을 간편하게 하려면, 주어진 "\(a_{n}\)으로 \(a_{n+1}\)을 구하는 식"을 "\(a_{n+1}\)로 \(a_{n}\)을 구하는 식"으로 바꿔보자.
더보기
- \(a_{n}=\begin{cases} a_{n+1}-3 & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\ 2(a_{n+1}-5) & (a_n \text{이 짝수인 경우}) \end{cases} \)
- 예를 들어 \(a_{30}=10\)으로 \(a_{29}\)를 구할 때, 위 식을 절차적으로 적용하면 된다.
  - 10에서 3을 빼면 7인데 7은 홀수이므로 \(a_{29}=7\)이 될 수 있다.
  - 10에서 5를 뺀 다음 2를 곱하면 10인데 10은 짝수이므로 \(a_{29}=10\)이 될 수 있다.
특히 이와 같은 '규칙성 찾기' 문제를 해결하는 과정에서 잘 조직된 '수형도'는 강력한 도구가 된다.
더보기
- 30번째 항 10으로 28번째 항의 후보를 찾는 수형도

15번

두 함수
\( f(x)=x^3-x^2+3x-k \), \( g(x)=\frac{2}{3}x^3+x^2-x+4|x-1| \)
에 대하여 방정식 \(f(x)=g(x)\)의 서로 다른 실근의 개수가 3이
되도록 하는 정수 \(k\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자.
\(M-m\)의 값은? [4점]

① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

방정식 \(f(x)=g(x)\)의 서로 다른 실근의 개수를 찾는 전략은 대체로 다음 세 가지 방법 중에 하나이다.
- 방정식 \(f(x)-g(x)=0\)의 실근을 직접 찾기
  - 방정식이 간단한 경우에는 이 방법도 좋다.
- 함수 \(f(x)\)의 그래프와 함수 \(g(x)\)의 그래프를 한 좌표평면에 그려서 교점 찾기
  - 예를 들어, 방정식 \(\sin x=x\)와 같은 삼각방정식은 이러한 방법이 유용하다.
- 함수 \(f(x)-g(x)\)의 그래프를 그려서 \(x\)축과의 교점 찾기
  - 이 문제에 적절한데, 방법을 다음과 같이 변용하면 더욱 유용하다.
  - 방정식 \(f(x)-g(x)=0\)의 좌변의 \(-k\)를 우변으로 이항하면 다음과 같은데,
    좌변 함수의 그래프와 직선 \(y=k\)의 교점을 찾는 것이다.
  - \(x^3-x^2+3x-\frac{2}{3}x^3-x^2+x-4|x-1|=k\)

2026 수능완성 미적분 실전모의고사 2회 - 수업 노트

xandy — Fri, 25 Jul 2025 16:05:28 +0900

10번

시각 \(t=0\)일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는
두 점 P, Q의 시각 \(t(\ge0)\)에서의 속도가 각각
\(v_1(t)=3t^2+4at+10\), \(v_2(t)=4t+a\)
이고, 시각 \(t\)에서의 두 점 P, Q 사이의 거리를 \(f(t)\)라 하자.
\(t \ge 0\)에서 함수 \(f(t)\)가 증가할 때, \(f(2)\)의 최댓값과 최솟값의
합은? (단, \(a\)는 실수이다.) [4점]

① 80 ② 82 ③ 84 ④ 86 ⑤ 88

\(g(t):=x_1(t)-x_2(t)\)라 하자. \(f(t)=|g(t)|\)이고,
두 점 P, Q는 원점에서 동시에 출발하므로 \(g(0)=0\)이고,
\(t \ge 0\)에서 함수 \(f(t)\)가 증가하므로 다음 두 경우 중 하나다.
더보기
- \(t \ge 0\)에서 \(g(t) \ge 0\)이고 \(g'(t) \ge 0\)이다.
- \(t \ge 0\)에서 \(g(t) \le 0\)이고 \(g'(t) \le 0\)이다.

11번

모든 항이 양수인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합
을 \(S_n\)이라 하자. \(a_2=2a_1\)이고 \(\displaystyle{\sum_{k=1}^5 \frac{1}{S_k}=5}\)일 때, \( \displaystyle{ \sum_{k=1}^{14} \frac{a_{k+1}}{S_k S_{k+1}}}\)
의 값은? [4점]

① \(\frac{115}{40}\) ② \(\frac{29}{10}\) ③ \(\frac{117}{40}\) ④ \(\frac{59}{20}\) ⑤ \(\frac{119}{40}\)

\(\cfrac{a_{k+1}}{S_k S_{k+1}}\)을 보자마자 \(a_{k+1}\)과 \(S_k\) 그리고 \(S_{k+1}\)을 일반형으로 바꿔서 대입할 생각부터 하지 않았나?
더보기
- \(a_{k+1}=S_{k+1}-S_k\)

14번

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)는
\(\displaystyle{ g(x)=\int_x^{x+3} f(|t|)dt }\)
이다. 함수 \(g(x)\)가 \(x=\frac{1}{2}\)에서 극소이고 \(g(1)=0\)일 때, 함수
\(g(x)\)의 극댓값은? [4점]

① \(\frac{5}{4}\) ② \(\frac{3}{2}\) ③ \(\frac{7}{4}\) ④ 2 ⑤ \(\frac{9}{4}\)

함수 \(g\)가 미분가능한 이유를 말할 수 있는가?
더보기
- 함수 \(f(|t|)\)는 \(f\)의 대칭축이 어디에 있던 연속이다.
- 연속함수 \(f(|t|)\)의 그래프와 \(t\)축 및 두 직선 \(t=x\), \(t=x+3\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S(x)\)라 하면,
- 최대·최소 정리를 이용하여 \(S(x)\)가 \(x\)의 함수 \(f(|x+3|)-f(|x|)\)의 한 부정적분임을 밝힐 수 있다.

22번

최고차항의 계수가 음수인 사차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수
\( \displaystyle{ g(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & (x<1) \\ f(x) & (x \ge 1) \end{cases} } \)
이 다음 조건을 만족시킨다.

\( \displaystyle{ \left\{a \left| \lim_{x \to a+} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \times \lim_{x \to (a+4)+} \frac{g(x)-g(a+4)}{x-(a+4)} \le 0 \right.\right\} } \)
\( = \{a \mid -6 \le a \le 2\} \cup \{5\} \)

\(g(5)=0\)이고 방정식 \(g(x)=9\)의 서로 다른 실근의 개수가 2일
때, \(g(3)=\frac{q}{p}\)이다. \(p+q\)의 값을 구하시오.
(단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

조건으로 주어진 집합을 통해 여집합도 고려할 수 있음을 놓치지 말자.

2026 수능완성 미적분 실전모의고사 1회 - 수업 노트

xandy — Mon, 21 Jul 2025 21:07:56 +0900

5번

다항함수 \(f(x)\)가
\(f'(x)=3x^2+a, f(3)-f(1)=30\)
을 만족시킬 때, \(f'(1)\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.) [3점]

① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7

\(f(x)=x^3+ax\) 라고 두어도 괜찮다.
더보기
- 다항함수 \(f(x)\)가 두 조건을 만족하기만 하면 되기 때문이다.

12번

함수 \(f(x)=x(x-2)(x-3)\)과 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가
\( g(x) = \begin{cases} f(x) & (x<t) \\ -f(x) & (x \ge t) \end{cases} \)
일 때, 함수 \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
(나) \(0<a<2\)인 모든 실수 \(a\)에 대하여 \( \displaystyle{ \int_a^3 g(x)dx > 0}\)이다.

\(\displaystyle{\int_0^3 g(x)dx}\)의 값은? [4점]

① \(\frac{1}{2}\) ② \(\frac{3}{4}\) ③ 1 ④ \(\frac{5}{4}\) ⑤ \(\frac{3}{2}\)

조건 (가)를 통해 \(f(t)=0\)임을 알 수 있다.
더보기
- \(x=t\)에서 \(g(x)\)가 연속이므로 \(f(t-)=-f(t+)\)이다.
- 그리고 \(x=t\)에서 \(f(x)\)가 연속이므로 \(f(t-)=f(t+)=f(t)\)이다.
- 따라서 \(f(t)=0\)이다.

14번

실수 \(t\)에 대하여 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(y=f(x)\)의
그래프 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점을
\((0, g(t))\)라 할 때, 함수 \(g(t)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(g(t)\)의 극댓값은 \(\frac{35}{27}\)이다.
(나) 함수 \(|g(t)-g(0)|\)은 \(t=1\)에서만 미분가능하지 않다.

\(g(-2)\)의 값은? [4점]

① 23 ② 24 ③ 25 ④ 26 ⑤ 27

\(g(t)=f(t)-tf'(t)\)는 쉽게 얻을 수 있는데, 이 식을 이대로 둔 채로 관계를 찾으려고 하면 찾을 수 없다. 귀찮더라도 이 식에 삼차함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)를 대입해야 관계를 찾을 수 있다.

28번

\(0<k<2\)인 상수 \(k\)와 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 함수
\(f(x)=1-\cos \pi x\)에 대하여 함수
\(g(x)=|f(x)-k|\)
의 최댓값을 \(M\)이라 하고, 방정식 \(f(x)=M\)의 두 실근 중 작은
근을 \(\alpha\)라 하자. \(p \le t \le \alpha\)인 모든 실수 \(t\)에 대하여
\( \displaystyle{ \int_t^{2-t} \{f(x)-g(x)\}dx = k(2-2t)} \)
를 만족시키는 실수 \(p\)의 최솟값이 \(\alpha-\frac{1}{3}\)일 때, \(g(k)\)의 값은? [4점]

① \(\frac{1}{6}\) ② \(\frac{1}{5}\) ③ \(\frac{1}{4}\) ④ \(\frac{1}{3}\) ⑤ \(\frac{1}{2}\)

주어진 식 \( \displaystyle{ \int_t^{2-t} \{f(x)-g(x)\}dx = k(2-2t)} \)에서 우변이 수상하지 않은가?
더보기
- \( \displaystyle{ k(2-2t)=\int_t^{2-t}kdx}\)

2026학년도 수능완성 출제경향 정리

xandy — Mon, 21 Jul 2025 20:38:52 +0900

수학Ⅰ

지수함수와 로그함수

거듭제곱근의 뜻과 성질
: 거듭제곱근의 뜻과 성질을 이용하는 문제가 출제된다.
지수의 확장과 지수법칙
: 거듭제곱근을 지수가 유리수인 꼴로 나타내는 문제, 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구하는 문제가 출제된다.
로그의 뜻과 기본 성질
: 로그의 뜻과 로그의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구하는 문제가 출제된다.
로그의 여러 가지 성질
: 로그의 여러 가지 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구하는 문제가 출제된다.
지수함수와 로그함수의 그래프
: 지수함수와 로그함수의 성질과 그 그래프의 특징을 이해하고 있는지를 묻는 문제가 출제된다.
지수함수와 로그함수의 활용
: 지수 또는 진수에 미지수가 포함된 방정식과 부등식의 해를 구하는 문제가 출제된다.
지수함수와 로그함수의 관계
: 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프를 활용하는 문제가 출제된다.
지수함수와 로그함수의 최댓값과 최솟값
: 주어진 범위에서 지수함수와 로그함수의 증가와 감소를 이용하여 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 출제된다.

삼각함수

부채꼴의 호의 길이와 넓이
: 호도법을 이용하여 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하는 문제가 출제된다.
삼각함수의 정의와 삼각함수 사이의 관계
: 삼각함수의 정의와 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식의 값을 구하는 문제가 출제된다.
삼각함수의 그래프
: 삼각함수의 그래프의 성질을 이용하여 주기를 구하거나 미지수의 값을 구하는 문제가 출제된다.
삼각함수의 성질
: 삼각함수의 성질을 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 문제가 출제된다.
삼각함수의 최댓값과 최솟값
: 삼각함수 또는 삼각함수가 포함된 함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제가 출제된다.
삼각함수를 포함한 방정식과 부등식
: 삼각함수의 그래프와 삼각함수의 성질을 이용하여 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식을 해결하는 문제가 출제된다.
사인법칙과 코사인법칙의 활용 및 삼각형의 넓이
: 삼각함수의 성질과 사인법칙, 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 변의 길이, 각의 크기, 외접원의 반지름의 길이를 구하거나 삼각형의 넓이를 구하는 문제가 출제된다.

수열

등차수열의 뜻과 일반항
: 등차수열의 일반항을 이용하여 공차 또는 특정한 항의 값을 구하는 문제가 출제된다.
등차수열의 합
: 주어진 조건으로부터 등차수열의 합을 구하거나 등차수열의 합을 이용하여 첫째항, 공차, 특정한 항의 값을 구하는 문제가 출제된다.
등비수열의 뜻과 일반항
: 등비수열의 일반항을 이용하여 공비 또는 특정한 항의 값을 구하는 문제가 출제된다.
등비수열의 합
: 주어진 조건으로부터 등비수열의 합을 구하거나 등비수열의 합을 이용하여 공비 또는 특정한 항의 값을 구하는 문제가 출제된다.
등차중항과 등비중항
: 3개 이상의 수가 등차수열 또는 등비수열을 이루는 조건이 주어지는 문제가 출제된다.
수열의 합과 일반항 사이의 관계
: 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 일반항을 구하거나 특정한 항의 값을 구하는 문제가 출제된다.
합의 기호 ∑의 뜻과 성질
: 합의 기호 ∑의 뜻과 성질을 이용하여 수열의 합을 구하거나 특정한 항의 값을 구하는 문제가 출제된다.
자연수의 거듭제곱의 합
: 자연수의 거듭제곱의 합을 나타내는 ∑의 공식을 이용하여 식의 값을 구하는 문제가 출제된다.
여러 가지 수열의 합
: 수열의 일반항을 소거되는 꼴로 변형하여 수열의 합을 구하는 문제가 출제된다.
수열의 귀납적 정의
: 처음 몇 개의 항의 값과 여러 항 사이의 관계식으로 정의된 수열 \(\{a_n\}\)에서 특정한 항의 값을 구하는 문제, 귀납적으로 정의된 등차수열 또는 등비수열에 대한 문제가 출제된다.
다양한 수열의 규칙 찾기
: 주어진 조건을 만족시키는 몇 개의 항을 나열하여 수열의 규칙을 찾는 문제가 출제된다.
수학적 귀납법
: 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명하는 과정에서 빈칸에 알맞은 식이나 수를 구하는 문제가 출제된다.

수학Ⅱ

함수의 극한과 연속

함수의 좌극한과 우극한
: 함수의 식과 그래프에서 좌극한과 우극한, 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
함수의 극한에 대한 성질
: 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 함수의 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
함수의 극한값의 계산
: \(\cfrac{0}{0}\) 꼴, \(\cfrac{\infty}{\infty}\) 꼴, \(\infty - \infty\) 꼴의 함수의 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
극한을 이용한 미정계수 또는 함수의 결정
: 함수의 극한에 대한 조건이 주어졌을 때, 미정계수를 구하거나 다항함수 또는 함숫값을 구하는 문제가 출제된다.
함수의 극한의 활용
: 주어진 조건을 활용하여 좌표평면에서 선분의 길이, 도형의 넓이, 교점의 개수 등을 함수로 나타내고 그 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
함수의 연속
: 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)(\(a\)는 실수)에서 연속이기 위한 조건을 이용하여 함수 또는 미정계수를 구하는 문제가 출제된다.
연속함수의 성질과 사잇값의 정리
: 연속 또는 불연속인 함수들의 합, 차, 곱, 몫으로 만들어진 함수의 연속성을 묻는 문제와 연속함수에서 사잇값의 정리를 이용하는 문제가 출제된다.

다항함수의 미분법

평균변화율과 미분계수
: 평균변화율과 미분계수의 뜻을 이해하고 이를 이용하여 해결하는 문제가 출제된다.
미분가능과 연속
: 함수 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 미분가능성과 연속의 관계를 묻는 문제가 출제된다.
미분법의 공식
: 미분법을 이용하여 미분계수를 구하거나 미정계수를 구하는 문제가 출제된다.
접선의 방정식
: 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하는 문제가 출제된다.
함수의 증가와 감소
: 함수가 증가 또는 감소하는 구간을 찾거나, 증가 또는 감소할 조건을 이용하여 미정계수를 구하는 문제가 출제된다.
함수의 극대와 극소
: 함수의 극값을 구하거나 극값을 가질 조건을 구하는 것과 같이 극대, 극소와 관련된 다양한 문제들이 출제된다.
함수의 그래프
: 함수의 그래프를 그려서 주어진 조건을 만족시키는 상수를 구하거나 함수 \(y=f '(x)\)의 그래프 또는 도함수 \(f '(x)\)의 여러 가지 성질을 이용하여 함수 \(y=f(x)\)의 그래프의 개형을 추론하는 문제가 출제된다.
함수의 최대와 최소
: 주어진 구간에서 연속함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제, 도형의 길이, 넓이, 부피의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 출제된다.
방정식의 실근의 개수
: 함수의 그래프의 개형을 이용하여 방정식의 실근의 개수를 구하거나 실근의 개수가 주어졌을 때 미정계수의 값 또는 범위를 구하는 문제가 출제된다.
부등식에의 활용
: 주어진 범위에서 부등식이 항상 성립하기 위한 조건을 구하는 문제가 출제된다.
속도와 가속도
: 수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 위치가 주어졌을때, 속도나 가속도를 구하는 문제가 출제된다.

다항함수의 적분법

부정적분의 뜻과 성질
: 부정적분의 뜻과 부정적분의 성질을 이용하여 함숫값을 구하거나 부정적분을 활용하는 문제가 출제된다.
정적분의 뜻과 성질
: 정적분의 뜻과 성질을 이용하여 정적분의 값을 구하거나 정적분을 활용하는 문제가 출제된다.
함수의 성질을 이용한 정적분
: 함수의 그래프가 \(y\)축 또는 원점에 대하여 대칭임을 이용하거나 함수의 그래프를 평행이동하여 정적분의 값을 구하는 문제가 출제된다.
정적분으로 나타내어진 함수
: 정적분으로 나타내어진 함수에서 미분을 통해 함수를 구하거나 함숫값을 구하는 문제가 출제된다.
정적분으로 나타내어진 함수의 활용
: 정적분으로 나타내어진 함수에 대하여 함수의 극댓값과 극솟값, 함수의 그래프의 개형, 방정식의 실근의 개수 등과 관련된 미분법을 활용하는 문제가 출제된다.
곡선과 \(x\)축 사이의 넓이
: 곡선과 \(x\)축 사이의 넓이를 정적분을 이용하여 구하는 문제가 출제된다.
두 곡선 사이의 넓이
: 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 정적분을 이용하여 구하는 문제가 출제된다.
여러 가지 조건이 포함된 정적분의 활용
: 주기를 갖는 함수의 성질, 함수의 그래프의 개형, 정적분의 정의와 성질 등의 여러 가지 조건이 포함된 정적분을 활용하는 문제가 출제된다.
수직선 위를 움직이는 점의 속도와 거리
: 수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 속도에 대한 식이나 그래프로부터 점의 위치, 위치의 변화량, 움직인 거리를 구하는 문제가 출제된다.

미적분

수열의 극한

수열의 극한에 대한 기본 성질
: 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이용하여 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
수열의 극한
: 일반항이 다양한 형태로 주어진 수열의 극한을 구하는 문제가 출제된다.
수열의 극한의 대소 관계
: 수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 수열의 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
등비수열의 극한
: 등비수열의 일반항을 포함하는 수열의 극한값을 구하는 문제, \(x^n\)을 포함하는 수열의 극한으로 정의되는 함수에 대한 문제가 출제된다.
수열의 극한의 활용
: 주어진 방정식이나 도형 및 수열에서 일반항을 찾아 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
급수의 계산
: 급수의 성질을 이해하고 여러 가지 급수의 합을 구하는 문제가 출제된다.
등비급수의 수렴 조건과 합
: 등비급수 \( \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}}\) (\(a\ne 0\))이 수렴할 조건을 찾는 문제, 등비급수의 합을 구하는 문제가 출제된다.
등비급수의 활용
: 일정한 규칙과 비율에 의하여 무한히 그려지는 도형에서 길이 또는 넓이의 합을 등비급수를 이용하여 구하는 문제가 출제된다.

미분법

지수함수와 로그함수의 극한
: 무리수 \(e\)의 정의를 이용하여 함수의 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
지수함수와 로그함수의 미분
: 지수함수와 로그함수의 도함수를 이용하여 주어진 함수의 미분계수를 구하는 문제가 출제된다.
삼각함수 사이의 관계와 삼각함수의 덧셈정리
: 삼각함수의 정의, 삼각함수 사이의 관계와 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 식의 값을 구하는 문제가 출제된다.
삼각함수의 극한 및 삼각함수의 미분
: 삼각함수의 극한을 이용하여 식의 극한값을 구하거나 주어진 도형에서 선분의 길이 또는 도형의 넓이의 극한값을 구하는 문제가 출제된다. 또 사인함수와 코사인함수의 도함수를 구하는 문제가 출제된다.
함수의 몫의 미분법과 합성함수의 미분법
: 함수의 몫의 미분법과 합성함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구하는 문제가 출제된다.
매개변수로 나타내어진 함수, 음함수의 미분법
: 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법, 음함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구하는 문제가 출제된다.
역함수의 미분법과 이계도함수
: 역함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구하는 문제와 이계도함수를 구하는 문제가 출제된다.
접선의 방정식
: 미분을 이용하여 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하는 문제가 출제된다.
함수의 증가와 감소, 극대와 극소
: 미분을 이용하여 함수 \(f(x)\)의 증가와 감소를 판정하는 문제 또는 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하는 문제가 출제된다.
함수의 그래프와 최대, 최소
: 도함수를 이용하여 함수의 그래프의 개형을 파악하여 함수의 최댓값과 최솟값 등을 구하는 문제가 출제된다.
방정식과 부등식에의 활용 및 속도와 가속도
: 함수의 그래프를 이용하여 방정식의 서로 다른 실근의 개수나 부등식이 성립하도록 하는 조건을 구하는 문제가 출제된다. 또한 좌표평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도를 구하는 문제가 출제된다.

적분법

여러 가지 함수의 부정적분과 정적분의 계산
: 여러 가지 함수의 부정적분을 구하거나 정적분의 정의와 성질을 이용하여 정적분의 값을 구하는 문제가 출제된다.
치환적분법을 이용한 정적분
: 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 구하는 문제가 출제된다.
부분적분법을 이용한 정적분
: 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구하는 문제가 출제된다.
정적분으로 나타낸 함수의 미분
: 연속함수 \(f(x)\)와 미분가능한 함수 \(g(x)\) 및 상수 \(a\)에 대하여 정적분으로 나타낸 함수 \( \displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)\,dt}\), \(\displaystyle{\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt}\) 를 미분하는 문제가 출제된다.
정적분으로 나타낸 함수의 극한
: 정적분의 정의와 미분계수의 정의를 이용하여 함수의 극한값을 구하는 문제가 출제된다.
정적분과 급수의 합
: 정적분을 이용하여 급수의 합을 구하는 문제가 출제된다
정적분과 넓이
: 정적분을 이용하여 곡선과 좌표축 사이의 넓이, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 문제가 출제된다.
입체도형의 부피
: 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구하는 문제가 출제된다.
좌표평면 위를 움직이는 점의 이동 거리와 곡선의 길이
: 좌표평면 위를 움직이는 점의 이동 거리를 구하거나 곡선의 길이를 구하는 문제가 출제된다.

확률과 통계

경우의 수

원순열
: 사람이나 서로 다른 물건을 원형으로 배열하는 경우의 수 또는 일정한 간격을 두고 원형으로 배열된 영역에 색칠하는 경우의 수를 구하는 문제가 출제된다.
중복순열
: 서로 다른 \(n\)개에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택해 나열하는 중복순열의 수를 구하는 문제가 출제된다.
같은 것이 있는 순열
: 같은 것이 있는 대상을 일렬로 나열하는 순열의 수를 구하는 문제가 출제된다.
같은 것이 있는 순열의 활용 - 최단거리
: 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 제시된 도로망에서 최단거리로 이동하는 경우의 수를 구하는 문제가 출제된다.
중복조합과 그 활용
: 서로 다른 \(n\)개에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택하는 중복조합의 수를 구하는 문제가 출제된다. 또한 방정식을 만족시키는 정수해의 순서쌍의 개수를 구하거나 부등식을 만족시키는 정수해의 순서쌍의 개수를 구하는 문제가 출제된다.
이항정리
: 이항정리를 이용한 다항식의 전개식에서 특정한 항의 계수를 구하거나 항의 계수 사이의 관계식을 만족시키는 값을 구하는 문제가 출제된다.
이항정리의 활용
: 다항식 \((1+x)^n\)의 전개식에서 얻어지는 이항계수의 성질을 이용하는 문제가 출제된다.

확률

수학적 확률
: 어떤 시행에서 사건이 일어날 수학적 확률을 구하는 문제가 출제된다.
순열과 조합의 수를 이용한 확률
: 순열의 수와 조합의 수를 이용하여 경우의 수를 구한 후 확률을 구하는 문제가 출제된다.
확률의 덧셈정리
: 확률의 덧셈정리를 이용하여 확률을 구하는 문제가 출제된다.
여사건의 확률
: 여사건을 이용하여 확률을 구하는 문제가 출제된다.
조건부확률
: 조건부확률의 정의를 이용하여 확률의 값을 구하는 계산 문제나 다양한 상황에서 조건부확률을 구하는 문제가 출제된다.
확률의 곱셈정리
: 확률의 곱셈정리를 이용하여 확률을 구하는 문제가 출제된다
서로 독립인 두 사건의 확률
: 두 사건이 서로 독립인지를 판단하는 문제, 두 사건이 서로 독립임을 이용하여 확률을 구하는 문제가 출제된다.
독립시행의 확률
: 독립시행의 확률을 구하는 문제가 출제된다.

통계

이산확률변수의 확률분포
: 이산확률변수의 뜻을 알고 확률을 구하거나 확률분포의 성질을 이해하여 해결하는 문제가 출제된다.
이산확률변수의 기댓값(평균), 분산, 표준편차
: 이산확률변수의 확률분포를 이용하여 평균, 분산, 표준편차를 구하는 문제가 출제된다.
평균, 분산, 표준편차의 성질
: 이산확률변수 \(aX+b\)의 평균, 분산, 표준편차를 구하는 문제가 출제된다.
이항분포
: 이항분포를 따르는 확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 구하는 문제가 출제된다.
연속확률변수
: 연속확률변수의 뜻을 알고 확률밀도함수의 성질을 이용하여 미지수나 확률을 구하는 문제가 출제된다.
정규분포
: 연속확률변수 \(X\)가 정규분포를 따를 때, 확률밀도함수의 그래프의 성질을 이해하고 있는지를 묻는 문제, 표준정규분포를 이용하여 확률을 구하는 문제가 출제된다.
정규분포의 활용
: 정규분포에 관련된 외적문제해결 능력을 묻는 문제가 출제된다.
이항분포와 정규분포의 관계
: 이항분포에서의 확률을 이항분포와 정규분포의 관계를 이용하여 구하는 문제가 출제된다.
표본평균의 분포 ⑴
: 모집단의 확률분포와 표본평균의 분포 사이의 관계를 이해하고 표본평균의 확률, 평균, 분산, 표준편차를 구하는 문제가 출제된다.
표본평균의 분포 ⑵
: 모집단이 정규분포를 따를 때, 표본평균에 대한 확률을 구하는 문제가 출제된다.
모평균의 추정
: 표본평균의 분포를 이용하여 모평균을 추정하는 문제가 출제된다.

기하

이차곡선

포물선의 정의와 활용
: 포물선의 초점의 좌표나 준선의 방정식을 구하는 문제, 포물선의 정의를 이용하여 선분의 길이나 도형의 둘레의 길이를 구하는 문제, 포물선의 평행이동에 관한 문제 등이 출제된다.
타원의 정의와 활용
: 타원의 초점의 좌표, 두 초점 사이의 거리, 장축의 길이, 단축의 길이를 구하는 문제와 타원의 정의를 이용하여 선분의 길이, 도형의 둘레의 길이, 도형의 넓이를 구하는 문제가 출제된다.
쌍곡선의 정의와 활용
: 쌍곡선의 초점의 좌표, 두 초점 사이의 거리, 주축의 길이를 구하는 문제, 쌍곡선의 정의를 이용하여 선분의 길이, 도형의 둘레의 길이, 도형의 넓이를 구하는 문제 및 쌍곡선의 점근선의 방정식을 이용하는 문제가 출제된다.
포물선의 접선
: 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하는 문제, 접선의 기울기가 주어졌을 때 접선의 방정식을 구하는 문제, 포물선의 접선의 방정식을 활용하는 문제가 출제된다.
타원의 접선
: 타원 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하는 문제, 접선의 기울기가 주어졌을 때 접선의 방정식을 구하는 문제, 타원의 접선의 방정식을 활용하는 문제가 출제된다.
쌍곡선의 접선
: 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하는 문제, 접선의 기울기가 주어졌을 때 접선의 방정식을 구하는 문제, 쌍곡선의 접선의 방정식을 활용하는 문제가 출제된다.

평면벡터

평면벡터의 연산
: 벡터의 정의와 연산을 이용하여 벡터의 크기를 구하는 문제, 두 벡터가 평행할 조건을 이용하는 문제, 벡터의 연산과 도형의 성질을 이용하는 문제가 출제된다.
평면에서 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터
: 평면에서 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터를 이용하는 문제가 출제된다.
성분으로 나타낸 평면벡터의 연산
: 성분으로 나타낸 평면벡터의 연산을 이용하는 문제가 출제된다.
평면벡터의 내적의 정의와 성질
: 평면벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각의 크기를 이용하여 두 벡터의 내적을 구하는 문제가 출제된다.
성분으로 나타낸 평면벡터의 내적
: 성분으로 나타낸 평면벡터의 내적을 구하는 문제가 출제된다.
도형에서의 평면벡터의 내적
: 평면벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각의 크기를 이용하여 두 벡터의 내적을 구하는 문제가 출제된다.
도형에서의 평면벡터의 내적의 최대, 최소
: 주어진 도형의 기하적 성질을 이용하여 평면벡터의 내적의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제와 도형의 꼭짓점을 좌표로 설정하고 두 벡터의 내적을 이용하여 해결하는 문제가 출제된다.
벡터로 나타낸 직선의 방정식과 원의 방정식
: 좌표평면에서 벡터로 나타낸 직선의 방정식 또는 원의 방정식을 구하는 문제가 출제된다.

공간도형과 공간좌표

직선과 직선, 직선과 평면의 위치 관계
: 입체도형에서 직선과 직선, 직선과 평면의 위치 관계를 파악하는 문제가 출제된다.
두 직선이 이루는 각, 직선과 평면이 이루는 각
: 공간에서 도형의 성질을 이용하여 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하거나 직선과 평면이 이루는 각의 크기를 구하는 문제가 출제된다.
삼수선의 정리
: 공간도형에서 삼수선의 정리를 이용하여 직선의 위치 관계를 파악하고 선분의 길이, 도형의 넓이 등을 구하는 문제가 출제된다.
이면각
: 공간에서 두 평면이 이루는 각의 크기를 구하는 문제가 출제된다.
정사영의 길이와 넓이
: 주어진 도형의 정사영의 길이 또는 넓이를 구하는 문제, 정사영의 넓이를 이용하여 두 평면이 이루는 각의 크기를 구하는 문제가 출제된다.
공간좌표와 두 점 사이의 거리
: 좌표공간에서 제시된 조건을 만족시키는 점의 좌표를 구하거나 선분의 길이를 구하는 문제가 출제된다.
선분의 내분점과 외분점
: 좌표공간에서 주어진 선분의 내분점, 외분점 또는 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 문제가 출제된다.
구의 방정식
: 좌표공간에서 구의 방정식, 구와 좌표축 또는 좌표평면과의 관계를 묻는 문제가 출제된다.

RGB 육각 트루셰 타일 with Desmos

xandy — Wed, 16 Jul 2025 10:24:58 +0900

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설명

육각 트루셰 타일에 색을 입혔다.
- 모든 육각 트루셰 타일에는 세 개의 선이 있다. 따라서 세 가지 색으로 빨강, 초록, 파랑색을 골랐다.
화면의 무늬와 같이 같은 색의 선이 연결되도록 타일을 맞춰 새로운 패턴을 만들자.
- 식 목록의 r_eset 액션 버튼(->)을 클릭하여 타일을 모두 비운다.
- 빈 타일을 하나 클릭하면 5가지의 패턴 타일과 빈 타일 하나가 화면 하단에 등장한다.
- 원하는 타일을 선택한다. 빈 타일이 아닌 패턴 타일을 선택하면,
- 각 패턴에 따라 색을 칠할 수 있는 모든 경우에 해당하는 타일들이 등장한다.
- 원하는 타일을 선택한다.
- 빈 타일이 남지 않을 때까지 색을 연결할 수 있도록 타일을 선택하기를 반복하자.
이번 작품을 만드는 중에 이러한 타일을 사용하는 Tantrix라는 보드게임이 오래 전부터 있었다는 사실을 알게 되었다.

참고

https://en.wikipedia.org/wiki/Tantrix

육각 트루셰 타일 with Desmos

xandy — Tue, 15 Jul 2025 21:42:12 +0900

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설명

정사각형인 트루셰 타일을 정육각형으로 일반화한 것이다.
우선 식 목록에서 r_andomArt 액션 버튼(->)과 r_andomArtRotaionalSymmetry 액션 버튼(->)을 클릭하면 나오는 타일 패턴을 감상하자.
이제 r_eset 액션 버튼(->)을 클릭하여 타일을 모두 비운다.
- 빈 타일을 하나 클릭하면 5가지 패턴 타일과 빈 타일 하나가 화면 하단에 등장한다.
- 원하는 타일을 선택한다.
- 빈 타일이 남지 않을 때까지 반복하자.

참고

Truchet Tiles @ drMathArt: The Mathematical Art of David Reimann

트루셰 타일 with Desmos

xandy — Tue, 15 Jul 2025 21:28:30 +0900

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설명

한 타일을 클릭해보자.
그리고 이제 타일 위에 패턴을 만들자.
타일이 부족하면 점을 드래그하여 원하는 만큼 타일을 늘린 다음에,
식 목록의 r_eset 액션 버튼(->)을 클릭하자.

참고

https://en.wikipedia.org/wiki/Truchet_tiles

스도쿠 with Desmos

xandy — Tue, 15 Jul 2025 21:14:59 +0900

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설명

회색의 빈 칸을 클릭하여 숫자를 채운다.
목표는 모든 칸에 숫자를 채우는 것이다.
식 목록의 r_eset 액션 버튼(->)을 클릭하여 처음으로 되돌릴 수 있다.

참고

https://en.wikipedia.org/wiki/Sudoku