수학 임고생을 위한 도움말 - 1차 시험 준비

2021. 7. 19. 00:33

배움과 창조

소개

중등학교교사 임용후보자 선정경쟁시험(이하 임용시험)을 2010년(4학년)부터 2015년까지 6년간 준비했다.
주된 공부 방법은 책을 파헤치며 메모하고, 그 후에 재구성하여 노트하는 것이다.

여는 말

4학년이 되었지만, 무엇을 어떻게 해야 할지 모르는 상태로 무작정 해석학, 대수학, 위상수학 기본서를 필사했다. '어떤 내용이 있구나' 정도로 감을 잡은 것 외엔 별 도움이 안되었다. 첫 시험을 처참히 본 후, 수학을 어떻게 공부할지 그 방법을 찾으려 했다. 수학자들은 수학을 어떻게 생각하는지 궁금했고, 수학자들이 쓴 교양서를 찾아보았다. 그렇다고 뚜렷한 길이 보이지는 않았고, 우선은 수학교육과 학부과정을 처음부터 다시 밟았다. 다음은 그 여정에서 찾은 몇 갈래 길이다. 부디 여러분에게 작은 보탬이 되길 바란다.

기초

학교수학 다시보기

학부과정을 되밟다가 이른 곳이 학교수학이었다. 중고등학생들이 주로 푸는 문제집을 사서 풀지는 않았다. 당시 임용시험 3차 준비를 하려고 샀던 7차 교육과정 지도서 8권을 중학교에서 고등학교 순으로 차례대로 봤다. 과외 아르바이트를 병행하면서 고등학생을 가르쳤던 것은 커다란 도움이 되었다. 또한, 지도서에는 개정교육과정과 수학학습지도이론에 대한 해설도 함께 있어 수교론 공부에도 도움이 되었다. 그림1은 두산동아(주) 출판사의 고등학교 교사용 지도서의 머리말이다. 여기서 얻은 영감은 지금도 수업을 하는 데 밑바탕이 되고 있다. 그림2와 그림3은 지도서에 남긴 메모의 예다. 어떤 부분에 대한 생각을 메모하고, 관련된 전공서의 내용을 메모했다.


그림1. 고등학교 수학 교사용 지도서 머리말	그림2. 고등학교 기하와 벡터 교사용 지도서 中	그림3. 고등학교 기하와 벡터 교사용 지도서 中

미적분학 파헤치기

학부수학을 처음부터 다시 시작하고자 집합론부터 파헤쳤지만, 지나치게 몰입하여 수학기초론에 관심을 두게 된 것은 많은 시간을 소모시켰다. 그러나 미적분학은 정말로 도움이 됐다. 특히, 해석학과 미분기하학의 기초가 된다. 뿐만 아니라 수학 전반을 이해하는 데 필요한 수학적 사고의 기초를 다지는데 꼭 필요하다. 미적분학이 뿜어내는 수학의 아름다움을 꼭 만끽하시라. 예를 들어, 처음으로 극한의 의미를 이해하는 순간, 처음으로 선적분의 의미를 이해하는 순간, 처음으로 야코비안의 의미를 이해하는 순간 등이 있다. 끝으로 미적분학 책의 마지막에서 미적분학의 기본정리부터 발산정리까지의 추상화과정을 요약해 놓은 것을 볼 때, 감히 말할 수 없는 감동이 밀려올 것이다.

전문용어 이해하기

전공공부를 하다보면 피할 수 없는 것이 원서이다. 원서를 쓴 사람들은 수학자들이다. 수학자들은 그들만의 전문용어(jargon)를 사용하는데 이를 이해하는 것은 원서를 바르게 이해하는 지름길이다. Wikipedia(이하 위키)의 항목에 잘 나열되어 있다. en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_jargon

canonical, elegant, elementary, pathological, well-behaved, LHS, RHS, onto, strong, sufficiently large, upstairs, downstairs, up to(…을무시하면), vanish, weak, well-defined, BWOC(by way of contradiction), iff(if and only if), NTS(need to show), RTP(required to prove), WTS(want to show), Q.E.D., TFAE(the followings are equivalent), WOLG(without loss of generality), back-of-the-envelope calculation, brute force(노가다 증명), by example, handwaving(대강대강), trivial(자명하다)

스터디 시작하기

스터디를 모집하고, 구성하는 행정적인 일은 윤사사 카페를 통해 팁을 얻을 수 있다. 좋은 스터디를 만나는 것은 천운이 될 수 있다. 일 년 공부의 방향이 스터디에서 정해진다.

스터디 목적 : 진도 맞추기, 의사소통하기
한편, 지식을 얻기 위해 스터디를 하면 실망을 피하기 어렵다. 소수의 지식인들이 있고, 그 중에서도 소수의 친절한 사람이 있다.
스터디 형태 : 전공+수교론+교육학
올인원 스터디를 추천한다. 여러 스터디를 병행하기도 하지만, 그 만큼 에너지가 소모된다. 또한, 일주일 중에 하루는 스터디를 하고 그 외에는 본인의 스케줄로 활용하는 편이 효율적이다.
월별 스터디 목표
- 2월 : 스터디 모집하기 또는 참여하기, 스터디 계획하기, 스터디 적응하기
- 3~7월 : 전공·수교론·교육학 기본서 파헤치기
- 8~9월 : 전공·수교론 문제풀이, 교육학 파헤치기
- 10~11월중 : 전과목 모의고사
- 11월말 : 1차 스터디 마무리 또는 끝까지 모의고사
- 12월 : 2차 스터디 계획 및 시작
- 1월 : 2차 스터디 또는 휴식기

배움

부지런히 찾아보기

대표적인 전공서들은 대부분 원서가 있다. 개념을 이해하는데 막히는 부분이 있다면, 원서를 찾아보자. 번역서의 오역에서 이해가 막힌 부분이라면 이것으로 해결된다.
연습문제를 해결하는 데에도 마찬가지다. 원서로 된 연습문제 솔루션을 찾아보자.
그런데 무엇을 찾아야 할지도 막연한 경우가 있다. 그런 경우에는 키워드를 영어로 구글에 검색하면 의외로 쉽게 찾을 수도 있다. 또는 관련 이론에 해당하는 영문 위키 항목을 찬찬히 들여다보다가 궁금증이 해결되기도 한다.
- 구글에서 영어로 검색을 하다보면 자주 들르게 되는 사이트가 있다. 바로 수학 스택익스체인지(https://math.stackexchange.com/)다. 영문판 네이버 지식인 정도로 보면 되는데, 상당히 전문적이다. 외국의 학부생들이 자주 애용하는 것으로 보인다.
- 레이텍(LaTeX)을 알면 검색이 수월하다. 레이텍은 수식을 조판하기 위한 일종의 프로그래밍 언어라고 생각하면 된다. 한글에서 수식편집기에서 두 창 중에 아래에 입력되는 텍스트가 바로 레이텍 언어다. 찾고 싶은 적분이나 급수 또는 부등식 등을 레이텍 언어로 변환하여 구글에서 검색하자.
위의 방법들은 혼자서 의문을 해결해야 할 때, 사용하는 방법이고 사람에게 질문하는 것이 가장 빠르다. 교수님, 스터디원 등 가능한 루트를 총 동원해서 궁금증을 해결하자.
검색을 하다 보면 검색 기술이 늘어난다. 그러면서 자주 들르게 되는 블로그도 생기고, 인터넷 상의 고수들도 만나게 된다. 다음은 내가 찾은 추천하는 블로그 또는 사이트이다.
- 수학산책, 네이버캐스트 http://terms.naver.com/list.nhn?cid=58944&categoryId=58944
- 유재명의 인지과학으로 푸는 공부의 비밀, 지식창고, 사이언스온(교육학 배경지식에 도움) http://scienceon.hani.co.kr/?mid=media&category=178
- Zariski's 백과사전 https://zariski.wordpress.com/
- Pomp On Math & Puzzle (박부성 교수) http://pomp.tistory.com/

전공 기본서 파헤치기

정리를 증명한다. 연습문제를 푼다. 이것이 바로 되는 사람은 더 고민할 것 없다. 그러나 대다수의 보통 사람은 그렇지 않다. 따라서 메모가 필수다. 의문이 생길 것이다. 이때, 반드시 그 의문의 흔적을 남겨야 한다. 해결을 위해서도 그렇지만 애매했던 의문점은 나중에는 개념 사이를 잇는 튼튼한 연결점이 되어 개념망을 건강하게 한다.
그림4부터 그림6은 그러한 메모의 예이다. 예전의 메모가 노트로 옮겨가는 중에 버려졌지만 그림의 예보다 구체적인 메모들이 많았다. 되도록 구체적으로 쓰는 편이 도움이 되었다. 그리고 메모는 대개 2종류로 구분되었다.
- 질문 메모 : 말 그대로 궁금한 걸 적는다.
- 생각 메모 : 이 부분에서 떠오른 생각을 적는다.


그림4. 현대대수학 파헤치기 예1	그림5. 현대대수학 파헤치기 예2	그림6. 위상수학 파헤치기 예

전공 기본서 주석달기

기본서 첫 정독을 마치고 전공 공부를 다시 시작하면, 지금까지 스터디를 해서 또는 검색을 해서 또는 스스로 해결된 메모도 있고, 새로 생긴 메모도 있고 메모의 내용이 수정되어 있기도 하는 등 처음의 메모가 수정 보완된다. 그렇게 수정 및 보완된 메모는 전과는 성격이 바뀌는데 지금부터 이러한 메모는 주석으로서 기능한다. 그림7부터 그림12는 그러한 메모의 예다.


그림7. 실해석학 주석달기 예1	그림8. 실해석학 주석달기 예2	그림9. 현대대수학 주석달기 예1


그림10. 위상수학 주석달기 예1	그림11. 위상수학 주석달기 예2	그림12. 위상수학 주석달기 예3

수교론 파헤치기

수교론은 분명 전공과는 성격이 다르다. 공부하는 방식도 전공의 방법을 그대로 가져올 수 없다. 필수적으로 암기해야 할 것들이 있다. 두문문자를 이용하든지 관련된 단어열을 만들든지 가능한 모든 기억술을 동원해서 필수적으로 암기해야할 것들은 암기해야 한다. 원문 그대로 외워야 하는 것은 아니다. 이해는 하되, 실전에서 빠르게 서술하기 위해서는 적당한 자신만의 설명을 암기해야 한다. 수교론을 파헤칠 때는 텍스트를 철저히 분해해서 책을 재구성했다. 공부를 오래한 덕분에 무려 2번의 재구성을 했다. 그림13은 첫 번째 재구성의 결과이고, 그림14는 두 번째 재구성의 결과이다.
수교론은 기출문제 또는 모의고사를 푸는 경험이 매우 중요하다. 처음부터 술술 서술하는 사람은 달변가가 아니라 수다쟁이인 경우가 많다. 필요한 핵심어를 구사하며, 채점자의 채점을 돕는 수험생이 되기 위해서는 스스로 쓰는 경험을 통해 자신만의 서술 패턴을 만들어야 한다. 자주 쓰는 경험 속에서 자신의 패턴이 만들어진다.

교육학 파헤치기

교육학은 수교론과도 성격이 다르다. 교육학 과목을 간추리면 '교육학개론, 교육심리학, 교수·학습, 교육평가, 생활지도, 교육과정, 교육사회학, 교육행정' 등 최소 8과목이다. 각 과목별로 물론 기본서도 있을 것이다. 그런데 표준적인 대표 기본서를 찾기도 어렵다. 여기서 제대로 교육학의 이론들을 체계적으로 엮어서 분류하는 일은 어렵고도 시간이 오래 걸린다. 따라서, 잘 알려진 강사의 '핵심 톡 톡'을 통해 간추려 보는 것도 좋다. 또한, 이미 간추려진 내용을 본인의 성향에 맞게 다시 재구성하는 것도 좋다. 단, 그 작업량은 상당하다. 그림15는 교육학 재구성의 결과이다.
교육학도 수교론과 마찬가지로 자신만의 서술 패턴을 만드는 연습이 필요하다. 여기서 한 가지 팁은 미리 자신만의 서론과 결론을 준비하는 것이다. '논술의 구성 및 표현'은 20점 중에 5점을 차지한다. 사실 이것은 내용이 아니라 형식이다. 즉, 껍데기 또는 그릇이다. 그런데, 내용만이 아니라 껍데기도 잘 갖추어야 한다. 매번 새로운 글감을 찾느라 인지적 에너지를 낭비할 것이 아니라 자주 쓰는 패턴으로 자동화하여 에너지를 절약하자.


그림13. 수교론 첫 번째 재구성	그림14. 수교론 두 번째 재구성	그림15. 교육학 재구성

창조

단권화 노트

처음에는 수교론만 단권화 작업을 시도했다. 그런데, 수교론 단권화를 마치니 자연스럽게 전공에서도 그 필요성이 느껴졌다.
전공을 여러 번 다시보기 하면, 기본서 여기저기에 있는 메모들이 정리해주길 기다리고 있다.
전공에서 암기해야 할 것이라든가, 너무나 많이 사용하여 이제는 암기가 필요 없지만 중요도가 높다거나, 주요 메모를 한 자리에 정리 및 정돈하는 것이다. 이것이 단권화다. 그림16은 해석학 단권화 노트의 일부다.
전공은 해석학, 현대대수학, 위상수학, 복소해석학, 미분기하학, 정수론, 선형대수학, 이산수학, 확률및통계학 등 최소 9개 과목이 있다. 이것을 다 노트하는 것은 대형 프로젝트이다. 각자의 성향에 맞게 재편성할 수 있을 것이다. 필요한 부분만 골라서 최소화하면 물론 충분히 양을 줄일 수도 있을 것이다.
많은 수험생들이 단권화의 필요성을 느끼면서도 쉽사리 단권화하지 못한다. 그런데 이러한 자료는 자신이 스스로 한 것이 아니면, 전혀 쓸모없다. 남이 해 놓은 것은 그림의 떡일 뿐이다. 양이나 질에 관계없이 반드시 스스로 직접해야 한다.
일 년 동안 공부를 하다보면 시험 전 마지막 한 달은 무엇을 해야 할 지도 모를 정도로 혼이 빠진다. 그러나 가장 중요한 시기가 마지막 한 달이다. 단권화 노트가 여기서 힘을 실어준다. 자신이 정리한 노트는 마지막 한 달을 적어도 의미 없이 보내게 하지는 않는다.

의사소통

자신이 배우고, 재구성하고, 개인화 한 것을 다양한 소통방법을 활용해서 널리널리 알리자. 예를 들면, 스터디, 카페, 블로그 등이 있다. 처음에는 비록 보잘 것 없는 것일지라도, 또 어떤 강사가 이미 말 한 것이든, 어떤 기본서에 이미 잘 나와 있든 상관없다. 자신이 배워서 만들어낸 결과물이라는 것이 가장 중요하다.
'자신의 수학적 아이디어를 설득력 있게 논리적으로 표현하여 그 타당성을 입증하고 이에 기초하여 합리적으로 결론을 내리는 과정을 통해 민주시민의 소양을 기르게 한다.' 교육과정의 유의사항이자, 수험생에게 반드시 필요한 과정이다. 이때, 자신의 생각이 항상 옳을 수 없다. 의사소통을 통해 귀중한 피드백을 얻을 수 있다.
그러나 의사소통과정에서 트러블이 발생할 수 도 있다. '다른 학습자의 풀이 방법과 의견을 존중하며, 이를 통해 타인을 배려하는 성품을 기르게 한다.' 교육과정의 유의사항이자, 수험생이 반드시 갖추어야 할 성품이다.

닫는 말

부끄럽지만 필자는 점수 맞춰 대학을 왔고, 학부생일 때, 수학을 그리 좋아하지도 않았다. 1학년 과목을 재수강하느라 힘겨운 4학년을 보내기도 했다. 임용시험은 정말로 막연한 일이었다. 이 시험의 제도적인 타당성을 떠나 시험을 위한 공부는 정말로 힘들다. 그래서 필자가 접근한 것은 '내가 재밌어서 공부를 한다'는 프레임이었다. 그래서 초반에 수교론과 교육학을 등한시하는 어리석은 짓도 했다. 그러나 덕분에 전공공부에는 스트레스를 덜 받고 에너지를 절약할 수 있었다. 임용시험 준비를 시작하려는 여러분이 필자의 여정에서 자신에게 도움이 되는 양분을 잘 걸러서 얻길 바란다.

xandy