뉴턴의 포탄 1/2 : 포탄의 운동 표현
뉴턴의 포탄
- 뉴턴이 쓴 《자연철학의 수학적 원리》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 이하 프린키피아) 중에서 '세계의 체계에 대하여'(De mundi systemate)라는 부제가 붙은 제3권에는 뉴턴의 사고실험이 실려 있다.
- 그는 지구의 높은 산에서 대포를 쏘았을 때, 포탄의 속력에 따라 달라지는 포탄 궤도의 변화를 <그림1>로 설명했다.
- 특히 <그림1>은 외계의 지적 생명체에게 인류의 과학을 전달하는 대표 이미지로써 금제 음반(Voyager Golden Record)에 담긴 채로 보이저 우주탐사선 1, 2호에 각각 실려 우주를 여행하고 있다.
- 다시 말해, 뉴턴의 포탄은 인류의 과학적 사고를 대표할 만큼 의미있는 사고실험이다.
포탄의 운동 표현 방법
- 시간이 지남에 따라 포탄이 운동하는 모습을 구현하고자 한다.
- 그런데, 시각 \(t\)에 따른 포탄의 위치 \(\left(x(t),\,y(t)\right)\)를 어떻게 구할 수 있을까?
영화는 활동사진
- 구현하고자 하는 것은 포탄의 운동이다. 그런데 실제 포탄의 운동을 찍은 영상이 있다면, 그 영상은 사실 일정 단위시간을 간격으로 찍힌 사진들의 모임일 뿐이다.
- 따라서 만약 단위시간이 1초라면 1초 후 포탄의 위치만 알면 되지 0.1, 0.01, 0.001 등 단위시간보다 짧은 시간 후의 포탄의 위치를 전부 알 필요는 없다.
- 그럼 단위시간 후 포탄의 위치는 어떻게 알 수 있을까?
위치, 속도, 가속도의 관계
- 단위시간 후 포탄의 정확한 위치를 구할 수는 없었지만, 크게 벗어나지 않는 위치를 구하는 방법을 찾았다.
- 단위시간 후 포탄의 위치를 '현재 위치에서 현재 속도 벡터와 현재 가속도 벡터의 합을 더한 위치'로 정하는 것이다.
- '가속도를 적분하면 속도가 되고, 속도를 적분하면 위치가 된다'는 미적분의 아이디어를 수열로 재구성한 것이다.
- 구체적으로 \(n\) 단위시간 후의 포탄의 위치 \(\overrightarrow{p_n}\)과 속도 \(\overrightarrow{v_n}\)을 가속도 \(\overrightarrow{a_n}\)에 대하여 \(n+1\) 단위시간 후의 포탄의 위치와 속도를 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.
\(\overrightarrow{p_{n+1}}=\overrightarrow{p_n}+\overrightarrow{v_n}+\overrightarrow{a_n}\), \(\overrightarrow{v_{n+1}}=\overrightarrow{v_n}+\overrightarrow{a_n}\) - 특히 가속도 \(\overrightarrow{a_n}\)은 뉴턴의 중력 법칙(Newton's law of universal gravitation)과 뉴턴 운동 제2법칙(Newton's second law of motion)을 통해 위치 \(\overrightarrow{p_n}\)으로 구할 수 있다.
포탄의 운동 표현 알고리즘
- 좌표축의 1의 단위는 킬로미터(\(\mathrm{km}\)), 지구의 중심은 원점으로 정한다.
- 지구 반지름의 길이 \(R=6371\;\mathrm{km}\)와 포탄의 처음 위치 \(\overrightarrow{p_0}=\left(0,\,d_0\right) \)와 처음 속도 \(\overrightarrow{v_0}=\left(s_0,\,0\right)\)을 정한다.1
(단, \(d_0\geq R\), \(s_0\geq 0\)) - 포탄의 가속도 \(\overrightarrow{a_n}\)을 다음과 같이 구한다.
- 뉴턴의 중력 법칙에 따라 포탄이 받는 중력(Gravitational acceleration) \(\overrightarrow{F}\)는 \(G\cfrac{Mm}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\cdot-\cfrac{\overrightarrow{p_n}}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|}\)이다.
- 중력 상수(Gravitational constant) \(G=6.674\times10^{-11}\;\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\)
단, \(1\;\mathrm{N}\)(뉴턴)=\(1\;\mathrm{kg\cdot m/s^2}\) - 지구 질량(Earth mass) \(M=5.972\times10^{24}\;\mathrm{kg}\), 포탄 질량 \(m\;\mathrm{kg}\) 2
- 포탄과 지구 중심 사이의 거리 \(\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|\;\mathrm{km}\)
- 지구로부터 포탄에 대한 단위 방향 \(-\cfrac{\overrightarrow{p_n}}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|}\)
- 중력 상수(Gravitational constant) \(G=6.674\times10^{-11}\;\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\)
- 뉴턴 운동 제2법칙(F=ma)에 따라 포탄의 가속도 \(\overrightarrow{a_n}\)는 \(\cfrac{\overrightarrow{F}}{m}\) 즉 \(G\cfrac{M}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\cdot-\cfrac{\overrightarrow{p_n}}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|}\)이다.
- 가속도 크기3 4 5의 단위가 \(\mathrm{km/s^2}\)이 되도록 식을 변환한다.
\(\left\|\overrightarrow{a_n}\right\|=G\cfrac{M}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\;\mathrm{\cfrac{\left(N\cdot m^2/kg^2\right)\cdot kg}{km^2}}\) \(=\cfrac{GM}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\;\mathrm{\cfrac{\left(kg\cdot m/s^2 \cdot m^2/kg^2\right)\cdot kg}{km^2}}\) \(=\cfrac{GM}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\;\mathrm{\cfrac{m/s^2\cdot m^2}{km^2}}\) \(=\cfrac{GM}{1000^3\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\;\mathrm{\cfrac{km/s^2\cdot km^2}{km^2}}\) \(=\cfrac{GM}{10^9\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\;\mathrm{km/s^2}\) \(=\cfrac{39.857128\times 10^{13}}{10^9\left\|\overrightarrow{p_n} \right\|^2}\;\mathrm{km/s^2}\) \(=\cfrac{398571.28}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\;\mathrm{km/s^2}\) - 따라서 포탄의 가속도는 다음과 같다.
\(\overrightarrow{a_n}=\left\|\overrightarrow{a_n}\right\|\cdot-\cfrac{\overrightarrow{p_n}}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|}\) \(=-\cfrac{398571.28}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^3}\overrightarrow{p_n}\)
- 가속도 크기3 4 5의 단위가 \(\mathrm{km/s^2}\)이 되도록 식을 변환한다.
- 뉴턴의 중력 법칙에 따라 포탄이 받는 중력(Gravitational acceleration) \(\overrightarrow{F}\)는 \(G\cfrac{Mm}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}\cdot-\cfrac{\overrightarrow{p_n}}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|}\)이다.
- 1단위시간 후 포탄의 위치와 속도를 구한다.
\(\overrightarrow{p_{n+1}}=\overrightarrow{p_n}+\overrightarrow{v_n}+\overrightarrow{a_n}\), \(\overrightarrow{v_{n+1}}=\overrightarrow{v_n}+\overrightarrow{a_n}\) - 포탄과 지구 중심 사이의 거리 \(\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|\)이 지구 반지름의 길이 \(R\)보다 크거나 같으면, 3번부터 다시 반복하고, 그렇지 않으면 종료한다.
알지오매스로 구현한 뉴턴의 포탄 - 포탄의 운동 표현
설명
- A 부분의 코드 설명
- 지구 반지름의 길이 6371로 원의 방정식을 그리면 원이 제대로 그려지지 않는다. 그래서 지구 반지름의 길이를 슬라이더 r의 값만큼 축소하였다.
- 변수 ratioZoom은 화면에 표시하는 원의 반지름에 대한 지구 반지름의 비율이다. 따라서 포탄을 나타내는 점 P의 좌표에도 ratioZoom을 곱한다.
- 포탄이 지나간 자리를 선분으로 이어서 궤적처럼 나타내기 위해 거북이를 만들고, 거북이는 감춘다. 그러므로 포탄의 파란색 궤적은 곡선처럼 보이지만 다각형이다.
- B 부분의 코드 설명
- '0초 기다리기' 블록은 0초가 아니라 알지오매스가 기다릴 수 있는 가장 짧은 시간 만큼 계산을 멈추고 좌표평면에 계산 결과를 보여준다. 편의상 0초라고 한 것이다.
- 그리고 '20회 반복하기' 블록을 1회만 반복하기로 바꾸면 포탄을 한 번 이동시킨 다음 장면을 보여주는데, 매우 느리기 때문에 20번 이동시킨 다음 장면을 보기 위해 '20회 반복하기' 블록을 추가한 것이다.
귀납적 표현 방법의 한계
- 위 알고리즘으로는 현재 위치와 속도를 알면, 1단위시간 뒤의 위치와 속도를 알 수 있다.
- 그러나 사용자가 원하는 특정 시간의 위치와 속도를 알 수 없다.
- 다시 초심으로 돌아가 시각 \(t\)에 따른 포탄의 위치 \(\left(x(t),\,y(t)\right)\)를 구해보자.
뉴턴의 포탄 2/2 : 포탄의 위치 함수
첫 번째 단서 - 미분방정식
포탄의 가속도 \(\overrightarrow{a_n}=-\cfrac{398571.28}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^3}\overrightarrow{p_n}\)에서 가속도 \(\overrightarrow{a_n}\)을 위치 \(\overrightarrow{p_n}\)의 이계도함수로 해석하면, 포탄의 위치 함수 \(\left(x(t),\,y(t)\right)\)를 사용하여 아래와 같은 식을 만들 수 있다.
\[\left( x''(t),\,y''(t)\right)=-\frac{398571.28}{\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}^3}\left(x(t),\,y(t))\right)\tag{1}\label{1}\]
위 식은 초기 조건 \(\left(x(0),\,y(0)\right)=\left(0,\,d_0\right)\)와 \(\left( x'(0),\,y'(0)\right)=\left(s_0,\,0\right)\)을 만족하는 미분방정식으로 볼 수 있다. 따라서 미분방정식 \((\ref{1})\)을 풀면 시각 \(t\)에 따른 포탄의 위치 \(\left(x(t),\,y(t)\right)\)를 구할 수 있다.
두 번째 단서 - 원뿔 곡선의 극좌표계 식
그런데 미분방정식 \((\ref{1})\)을 도무지 해결할 방도가 보이지 않아 <그림4>와 같이 알지오매스에서 여러 속도로 포탄을 발사하면서 궤도를 그려보기도 하고 위키백과를 뒤지기도 하다가 또 다른 단서를 찾았다.
위 그림을 보면 포탄의 궤도는 처음 속도가 0km/s인 경우를 제외하면 속도가 증가함에 따라 타원에서 쌍곡선이 됨을 추측할 수 있다.6 추측이 참이면, 포탄의 궤도는 항상 원뿔 곡선이다. 한편, 위키백과의 원뿔 곡선 문서에서 극좌표계 관련 부분에 따르면 '한 초점이 원점에 있고 다른 한 초점은 \(x\)축 위에 있는 원뿔 곡선'은 다음과 같은 극좌표계 식으로 표현된다.(아래 식에서 \(a\)는 이심률(Eccentricity)이다.)
\[r=\frac{b}{1+a\cos\theta}\tag{2}\label{2}\]
더군다나 식 \((\ref{2})\)는 태양 주위를 공전하는 물체의 궤도를 결정하는 역학에 자주 사용된다고 아래와 같이 쓰여 있다.
The polar form of the equation of a conic is often used in dynamics; for instance, determining the orbits of objects revolving about the Sun.
그렇다면 <그림4>에 그려진 포탄의 궤도가 사실 '한 초점은 원점으로 두었던 지구의 중심에 있고 다른 한 초점은 \(y\)축 위에 있는 원뿔 곡선'일 것이라 짐작할 수 있다. 위키백과와 다른 점은 원점에 있지 않은 초점이 \(x\)축이 아닌 \(y\)축에 있다는 것인데 이 점은 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동만 하면 쉽게 해결된다.
포탄의 위치 함수의 정체
<그림5>를 보면 알 수 있듯이 '한 초점은 원점에 있고 다른 한 초점은 \(y\)축 위에 있는 원뿔 곡선' 위의 한 점 \((x,\,y)\)에 대하여 \((x,\,y)=\left(r\sin\theta,\,r\cos\theta\right)\)이다. 그리고 식 \((\ref{2})\)에 의해 포탄의 위치 \(\left(x(t),\,y(t)\right)\)의 정체는 다음과 같다.
\[\left(x(t),\,y(t)\right)=\frac{b}{1+a\cos\theta(t)}\left(\sin\theta(t),\,\cos\theta(t)\right)\tag{3}\label{3}\]
이제 \(a\), \(b\), \(\theta(t)\)의 정체를 밝히면 충분하다.
세 번째 단서 - 두 단서 연결
첫 번째 단서에 의하면 \(d_0(\geq R)\)와 \(s_0(\geq0)\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\left(x(0),\,y(0)\right)=(0,\,d_0)\)
- \(\left(x'(0),\,y'(0)\right)=(s_0,\,0)\)
- \(\left(x''(0),\,y''(0)\right)\) \(\overset{\mathrm{(\ref{1})}}{=}-\cfrac{398571.28}{\sqrt{x(0)^2+y(0)^2}^3}(x(0),\,y(0))\) \(=\left(0,\,-\cfrac{398571.28}{d_0^2}\right)\)
이제 세 값을 두 번째 단서로 밝힌 포탄의 위치 함수 \((\ref{3})\)과 그 도함수(＊)7 그리고 이계도함수(＊＊)8의 \(t=0\)일 때 함숫값과 비교하면 다음이 성립한다.
- \((0,\,d_0)\overset{\mathrm{i}}{=}\left(x(0),\,y(0)\right)\) \(\overset{\mathrm{(\ref{3})}}{=}\cfrac{b}{1+a}(0,\,1)\) \(\Rightarrow\cfrac{b}{1+a}=d_0\)
- \((s_0,\,0)\overset{\mathrm{ii}}{=}\left(x'(0),\,y'(0)\right)\) \(\overset{\mathrm{*}}{=}\left(\cfrac{b\theta'(0)}{1+a},\,0\right)\) \(\Rightarrow s_0=\cfrac{b\theta'(0)}{1+a}\) \(\overset{\mathrm{I}}{=}d_0\theta'(0)\) \(\Rightarrow \theta'(0)=\cfrac{s_0}{d_0}\)
- \(\left(0,\,-\cfrac{398571.28}{d_0^2}\right)\) \(\overset{\mathrm{iii}}{=}\left(x''(0),\,y''(0)\right)\) \(\overset{\mathrm{**}}{=}\left(\cfrac{b\theta''(0)}{1+a},\,\cfrac{-b\theta'(0)^2}{(1+a)^2}\right)\)
\(\Rightarrow\theta''(0)=0\), \(-\cfrac{398571.28}{d_0^2}=\cfrac{-b\theta'(0)^2}{(1+a)^2}\) \(\overset{\mathrm{I,II}}{=}-\cfrac{d_0(1+a)s_0^2}{(1+a)^2d_0^2}\) \(=-\cfrac{s_0^2}{(1+a)d_0}\)
\(\Rightarrow\theta''(0)=0\), \(1+a=\cfrac{d_0s_0^2}{398571.28}\)
\(\Rightarrow\theta''(0)=0\), \(a=\cfrac{d_0s_0^2}{398571.28}-1\) 9
III.에서 \(a\)는 초기 조건 \(d_0\)와 \(s_0\)로 표현됐고, I.에서 \(b\)는 \(a\)와 \(d_0\)로 표현됐다. 이제 \(\theta(t)\)의 정체만 밝히면 충분하다.
마지막 단서 - 케플러 제2법칙
사실 나는 \(\theta(t)\)찾기를 거의 포기하기에 이르렀었다. 그런데 우연히 알지오매스로 포탄을 발사하던 중에 포탄이 지구에서 가까우면 빠르고 멀면 느림에 주목했다. 그리고 어디선가 들어봤던 케플러 법칙이 떠올랐다. 구글링해보니 내가 어렴풋이 알던 케플러 법칙은 면적 속도 일정 법칙으로도 알려진 케플러 제2법칙이었다.
<그림6>에서 노란 호는 \(\theta(t)\)를 나타낸다. 케플러 제2법칙에 따르면 각각의 검은 영역의 넓이는 일정하다. 이제 포탄과 지구의 중심을 연결한 선분이 \(t\)시간 동안 휩쓸고 지나간 넓이를 \(S(t)\)라 하자.
S(t)의 정체
케플러 제2법칙에 따라 \(S(t)\)는 일차함수다. 일정한 시간 동안 일정한 넓이가 증가하기 때문이다. 따라서 \(S'(t)\)는 상수함수 즉, 어떤 \(c_0>0\)에 대하여 \(S'(t)=c_0\)이다.
θ(t)와 S(t)사이의 관계
한편, 시각의 변화량 \(\Delta t>0\)에 대하여 '시각이 \(t\)에서 \(t+\Delta t\)까지 변할 때 \(S(t)\)의 변화량' \(\Delta S\) 즉 <그림7>에서 검은 영역의 넓이는 초록색 부채꼴의 넓이와 노란 부채꼴의 넓이의 사잇값이다.
다시 말해, 시각 \(t\)와 \(t+\Delta t\)에서 포탄과 지구 중심을 연결한 선분을 각각 반지름으로 하고 중심각의 크기는 '시각이 \(t\)에서 \(t+\Delta t\)까지 변할 때의 의 변화량' \(\Delta\theta\)인 두 부채꼴과 \(\Delta S\)에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
\[\frac{1}{2}r(t)^2\Delta\theta<\Delta S<\frac{1}{2}r(t+\Delta t)^2\Delta\theta\tag{4}\label{4}\]
양변을 \(\Delta t>0\)로 나누면 다음이 성립한다.10
\[\frac{1}{2}r(t)^2\frac{\Delta\theta}{\Delta t}<\frac{\Delta S}{\Delta t}<\frac{1}{2}r(t+\Delta t)^2\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\tag{5}\label{5}\]
따라서 \(\Delta t\rightarrow 0\)일 때 다음이 성립한다.
\[S'(t)=\frac{1}{2}r(t)^2\theta'(t)\tag{6}\label{6}\]
그리고 \(S'(t)=c_0\)이므로 \(c_0=\cfrac{1}{2}r(t)^2\theta'(t)\)이다. 그러므로 \(\theta'(t)\)는 다음과 같다.
\[\theta'(t)=\frac{2S'(t)}{r(t)^2}=\frac{2c_0}{r(t)^2}\tag{7}\label{7}\]
θ'(t)의 정체
식 \((\ref{7})\)에서 \(t=0\)일 때 세 번째 단서의 II의 \(\theta'(0)=\cfrac{s_0}{d_0}\)을 이용하면 상수 \(c_0\)의 정체가 밝혀진다.
\(\cfrac{s_0}{d_0}\overset{\mathrm{II}}{=}\theta'(0)\) \(\overset{(\ref{7})}{=}\cfrac{2c_0}{r(0)^2}=\cfrac{2c_0}{d_0^2}\) \(\Leftrightarrow 2c_0=d_0s_0\) \(\Leftrightarrow c_0=\cfrac{d_0s_0}{2}\)
따라서 \(\theta'(t)=\cfrac{2c_0}{r(t)^2}=\cfrac{d_0s_0}{r(t)^2}\)이다. 또한, 두 번째 단서에서 찾은 극좌표계 식 \((\ref{2})\)에 의하여 \(\theta'(t)\)의 정체가 밝혀진다.
\[\theta'(t)=\cfrac{d_0s_0}{r(t)^2}\overset{(\ref{2})}{=}\frac{d_0s_0\left(1+a\cos\theta(t)\right)^2}{b^2}\tag{8}\label{8}\]
θ(t)의 정체
위 식 \((\ref{8})\)에서 치환적분법이 엿보인다. 양변을 \(\left(1+a\cos\theta(t)\right)^2\)으로 나누면 점차 드러난다.
\[\frac{\theta'(t)}{\left(1+a\cos\theta(t)\right)^2}=\frac{d_0s_0}{b^2}\]
여기서 양변을 \(t=0\)에서 \(t=T\)까지 적분하면 다음과 같다.
\[\int_{0}^{T}\frac{\theta'(t)}{\left(1+a\cos\theta(t)\right)^2}dt=\int_{0}^{T}\frac{d_0s_0}{b^2}dt\]
이때 좌변은 \(\theta(t)\)는 \(\phi\)로 치환하고, 우변은 정적분하자.
\[\int_{\theta(0)}^{\theta(T)}\frac{1}{(1+a\cos\phi)^2}d\phi=\frac{d_0s_0}{b^2}T\]
특히 \(t=0\)일 때 포탄은 \(y\)축 위에 있으므로 <그림5>를 보면 자명하게 \(\theta(0)=0\)이다. 그리고 \(T\)를 \(t\)로 바꿔서 다시 쓰면 다음과 같이 \(\theta(t)\)의 정체가 밝혀진다.
\[\int_{0}^{\theta(t)}\frac{1}{(1+a\cos\phi)^2}d\phi=\frac{d_0s_0}{b^2}t\tag{9}\label{9}\]
\(\theta(t)\)를 \(t\)로 나타내지 않았으니 밝혀진 것이 아니라고 반문할 수도 있지만, 함수 \(f(\phi)\overset{\mathrm{def}}{=}\cfrac{1}{(1+a\cos\phi)^2}\)에 대하여 \(F(\psi)\overset{\mathrm{def}}{=}\int_{0}^{\psi}f(\phi)d\phi\)라 하면, \(F(\theta(t))=\cfrac{d_0s_0}{b^2}t\)이므로 \(\theta(t)\)를 \(\cfrac{b^2}{d_0s_0}F\)의 역함수로 볼 수 있다.
데스모스로 구현한 뉴턴의 포탄 - 포탄의 위치 함수
설명
- 티커(ticker)의 실행 버튼(메트로놈 모양)을 클릭하면 포탄과 지구 중심 사이의 거리가 지구 반지름의 길이보다 크거나 같은 동안 play라는 액션(Action)을 자동 반복 실행한다.
- 액션 play를 실행하면 변수 time이 50만큼 커진다.
- 포탄의 움직임을 더 빠르거나 느리게 보고 싶으면 식 목록 2번 항목의 값 50을 조절하면 된다.
- 본문에서 사용한 포탄의 처음 속력에 해당하는 변수 \(s_0\) 대신에 여기서는 \(v_0\)라고 썼다.
데스모스의 회귀 분석 기능
- 데스모스의 회귀 분석 기능은 주어진 방정식의 해를 찾는 데에 유용하게 쓰인다.
- 여기서는 식 \((\ref{9})\)를 방정식으로 보고 \(t=t_{ime}\)일 때 해가 되는 \(\theta(t)\)를 찾는 것이다.
- 이렇게 원하는 시각 \(t\)에서 \(\theta(t)\)를 구할 수 있으므로 위에서 \(\theta(t)\)를 더 구체화할 필요가 없었다.11
- 회귀 분석 기능을 사용하는 방법은 <그림8>의 식 목록의 8번 항목처럼 =가 있어야 할 자리에 ~을 쓰고 구하고 싶은 해의 자리에 매개변수를 쓰면 된다. 나는 \(\theta(t)\) 자리에 \(\theta_{time}\)이라는 변수를 넣었다.12
매개변수 곡선 표현
- 데스모스에서는 매개변수 곡선을 표현할 수 있다. 예를 들어 단위원을 그릴 때 원의 방정식으로 표현하는 것이 아니라 매개변수 t에 대하여 (cos t, sin t)와 같은 매개변수 순서쌍으로 나타내는 것이다.
- 따라서 데스모스에서 문자 t는 되도록 매개변수 곡선을 그리는 용도로만 사용하는 것이 좋다.
- 그리고 기본적으로 t의 범위는 0≤t≤1이다.
- 식 목록의 10번 항목에서 순서쌍 P(θ)를 정의하고 나서 11번 항목에는 θ=2πt를 대입하여 매개변수 곡선을 그렸고, 12번 항목에는 \(\theta_{time}\)을 대입하여 포탄을 그렸다.
후기
- 포탄의 위치 함수를 구하는 데에 가장 크게 도움이 되었던 것은 'θ(t)와 S(t)사이의 관계'를 찾은 것이다.
- <그림7>에서 검게 음영된 부분에 해당하는 \(\Delta S\)는 케플러 제2법칙에서 말하는 '선분이 휩쓸고 지나간 영역의 넓이'의 변화량을 나타낸다.
- 부등식 \((\ref{4})\)를 \(\Delta t>0\)로 나누어 부등식 \((\ref{5})\)를 얻은 다음 \(\Delta t\rightarrow 0\)일 때 \(S'\)와 \(\theta'\) 사이의 관계식 \((\ref{6})\)을 찾을 수 있었다.
- 그런데 되돌아보니 이것은 정적분의 기본 정리를 증명하는 아이디어와 같았다.
- 정적분의 기본 정리란, 넓이 함수 \(S(x)\)가 원래 함수 \(f\)의 부정적분 즉 \(S'=f\)라는 것이다.
- <그림9>에서 검게 음영된 부분도 '선분이 휩쓸고 지나간 영역의 넓이'의 변화량 \(\Delta S\)를 나타낸다.
- 닫힌구간 \([x,\,x+\Delta x]\)에서 함수 \(f\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\)과 \(m\)이라고 하면 \(\Delta S\)는 두 직사각형의 넓이 \(m\Delta x\)와 \(M\Delta x\)에 근사한다.
- 다시 말해, \(m\Delta x\leq\Delta S\leq M\Delta x\)이다. 마찬가지로 이 부등식을 \(\Delta t>0\)으로 나눈 다음 \(\Delta t\rightarrow 0\)일 때 \(S'\)와 \(f\) 사이의 관계식 \(S'=f\)를 찾는 것이다.
- <그림2>에서 포탄의 처음 속도와 처음 가속도를 나타내는 두 화살표의 길이는 임의로 표현하였다. [본문으로]
- 포탄 가속도의 크기는 포탄 질량에 상관없으므로 특정한 값을 정하지 않는다. [본문으로]
- 포탄의 가속도의 크기 \(\left\|\overrightarrow{a_n}\right\|\)가 자칫 커 보일 수 있지만, \(\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|\)은 \(R=6371\;\mathrm{km}\)이상이므로 \(\left\|\overrightarrow{a_n}\right\|\)는 \(398571.28/6371^2\) 즉 \(0.009\;\mathrm{km/s}^2\) 이하이다. [본문으로]
- 한편, 지구 가속도의 크기는 포탄의 가속도의 크기 보다 훨씬 더 작다. 포탄의 질량 \(m\)이 \(10^{11}\;\mathrm{kg}\)정도로 크더라도 지구 가속도의 크기 \(\cfrac{Gm}{\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|^2}=\cfrac{6.674}{10^9\left\|\overrightarrow{p_n} \right\|^2}\;\mathrm{km/s^2}\)은 \(\cfrac{6.674}{10^9\times 6371^2}\) 즉 \(1.644\times 10^{-16}\;\mathrm{km/s^2}\)이므로 거의 0에 가까운 작은 값이 되므로 지구의 가속도는 표현하지 않아도 충분하다. [본문으로]
- 뉴턴의 포탄을 처음 표현할 때부터 이처럼 물리적으로 엄밀한 방법을 사용하지는 않았다. 처음에는 상식으로 알고 있었던, 중력 가속도의 크기는 \(9.8\;\mathrm{m/s^2}\)이라는 것과 중력 가속도의 크기는 거리 제곱에 반비례한다는 것만 활용했다. 다시 말해 지구 표면에서 즉 \(\left\|\overrightarrow{p_n}\right\|=R\) 일 때 포탄의 가속도가 \(9.8\;\mathrm{m/s^2}=0.0098\mathrm{km/s^2}\)이 되도록 포탄 가속도의 크기식을 \(0.0098\times \left(R/\left\|\overrightarrow{p_n}\right\| \right)^2\)으로 두었다. 그런데 우연히도 분자 \(0.0098\times R^2=0.0098\times 6371^2=397778.4818\)의 값이 \(398571.28\)과 큰 차이가 없어 물리적으로 엄밀하지 않은 식으로도 포탄의 움직임이 잘 표현되었다. [본문으로]
- 추측대로면 반드시 어떤 속도에서 포탄의 궤도는 포물선이 된다. 그 속도는 극좌표계 식 \((\ref{2})\)에 따르면 \(a=1\)이 될 때의 속도이다. [본문으로]
- \(\left(x',\,y'\right)=\cfrac{b\theta'}{(1+a\cos\theta)^2}(\cos\theta+a,\,-\sin\theta)\) [본문으로]
- \(\left(x'',\,y''\right)=\cfrac{b}{(1+a\cos\theta)^3}\)\((\theta''\{(1+a^2)\cos\theta+a\cos^2\theta+a\}\)\(+(\theta')^2\sin\theta(2a^2+a\cos\theta-1),\) \(-\theta''\sin\theta(1+a\cos\theta)\)\(-(\theta')^2(a+a\sin^2\theta+\cos\theta))\)
이처럼 복잡한 이계도함수를 구하기 위해 울프럼 알파를 사용했다. [본문으로] - \(a=1\)이 되도록 처음 속도 \(s_0\)을 정하면 포탄의 궤도가 포물선이 된다. [본문으로]
- \(\Delta t<0\)인 경우에는 부등호 방향이 반대이다. [본문으로]
- 사실 \(\theta(t)\)를 \(t\)로 표현한 식을 구하고 싶어도 방법을 모르겠다. [본문으로]
- 데스모스에서 \(\theta\)를 입력하기 위해서는 식 목록의 빈 항목에 theta라고 입력하면 된다. [본문으로]