원의 둘레와 넓이 그리고 원주율 with AlgeoMath

아르키메데스의 방법

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원의 넓이

• 아르키메데스는 원이
  • 자신 안에 내접하는 정다각형 보다 크고, 자신 밖에 외접하는 정다각형 보다 작다는 것과
  • 내접하거나 외접하는 정다각형의 변의 개수가 늘어날수록, 정다각형이 원에 가까워진다는 것^[각주:1]을 이용하여
• 원의 넓이가 다음과 같은 직각삼각형의 넓이와 같음을 밝혔다.
  
  • 밑변의 길이는 원의 둘레와 같고, 높이는 원의 반지름과 같은 직각삼각형.

원주율

• 아르키메데스는 원의 넓이를 구하는 원리를 계산으로 실천했다.
• 원의 넓이를 구하기 위해서는 위에서 밝힌 바와 같이 원의 둘레를 구해야한다.
• 원의 둘레는 원의 지름과 원주율의 곱이기 때문에 원주율을 구해야한다.^[각주:2] 아르키메데스는 계산하기 시작했다.
• 원에 내접하는 정다각형의 둘레와 외접하는 정다각형의 둘레를 구하여 비교하였는데
• 정6각형부터 시작하여, 변의 개수를 2배씩 늘려 무려 정96각형까지 계산했다.
• 이러한 믿기지 않는 놀라운 계산^[각주:3]으로
  • 원주율 즉, 원의 둘레에 대한 원의 지름의 비
  • $\frac{\left(원의둘레\right)}{\left(원의지름\right)}$의 값이
  • $3\frac{10}{71}$ 보다 크고, $3\frac{10}{70}$ 보다 작음을 밝혔다.

레오나르도^[각주:4]의 방법

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설명

• 레오나르도 다 빈치가 원의 넓이를 구할 때, 원을 조각내고 다시 재배열했다고 한다.
• 이 원리는 원뿐 아니라, 부채꼴에도 적용할 수 있다.
• 그러면, 원 또는 부채꼴의 넓이를 직사각형의 넓이로 쉽게 이해할 수 있다.

참고

• https://en.wikipedia.org/wiki/Area_of_a_circle
• https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_exhaustion
• https://en.wikipedia.org/wiki/Pi

1. 아르키메데스의 소진법(Method of exhaustion) [본문으로]
2. 아르키메데스 이전에도 원의 둘레에 대한 원의 지름의 비가 일정하다는 사실은 알려져 있었다. 이 사실은 원주율이 원의 둘레에 대한 원의 지름의 비라는 값으로 일정하다는 뜻이다. 따라서, 원의 둘레는 원의 지름과 원주율의 곱이다. [본문으로]
3. 계산 중에는 여러 제곱근들의 값도 근삿값으로 구해내야 하므로 실로 어마어마한 양의 계산이 필요하다. [본문으로]
4. 레오나르도 다 빈치 [본문으로]