원의 접선과 그 성질
- 원의 접선이란, 원과 한 점에서 만나는 직선을 말한다.
- 그리고 원과 직선의 단 하나의 교점을 접점이라 한다.
- 특히, 접점에서 접선과 반지름은 서로 수직으로 만난다. 왜 그럴까?
점과 직선 사이의 거리
- 직선 밖의 점과 직선 사이의 거리는 어떻게 잴까?
- 두 점 사이의 거리는 두 점을 잇는 가장 짧은 선의 길이이다.
- 이 길이는 두 점을 끝점으로 하는 선분의 길이와 같다.
- 비슷하게도 점과 직선사이의 거리는 점과 직선을 잇는 가장 짧은 선의 길이이다.
- 이 길이는 점에서 직선 위에 내린 수선의 발과 점 사이의 거리와 같다.
- 다시 말해, 직선 ℓ 위에 있는 점 중에서 직선 밖의 점 P와 가장 가까운 점이 점 P의 수선의 발 H라는 것이다.
- 따라서, 그림1에서 접선 ℓ과 반지름 OT가 수직하기 위해서는 접점 T가 원의 중심 O의 수선의 발이면 충분하다.
접점에서 바라보기
- 그림3은 그림1에서 접점 T를 중심으로 확대하고, 접점 T 근방에서 접선 ℓ 위의 T가 아닌 한 점 P를 그린 것이다.
- 원을 한 눈에 들어오는 크기로 본 것과는 사뭇 다르다.
이때, 원의 접선의 뜻을 다시 되새겨보면 그 말의 무게가 느껴진다.- 접선 ℓ은 원과 한 점에서 만나는데, 확대된 그림2를 보면 원과 접선이 정말로 한 점에서 만나는 것인지 직관적으로 판단하기 어렵기 때문이다.
- 접선 ℓ은 원과 한 점에서 만나므로 점 P는 원 O 위에 있지 않다. 그러면 어디에 있을까?
- 그림1만 보면 당연히 원 외부에 있을 것 같지만, 그림3을 보면 꼭 그렇지도 않다.
- 만약 점 P가 원 내부에 있다면, 접선 ℓ은 원을 가로지르게 되므로 접선 ℓ은 원과 한 점에서 만난다는 전제가 무너진다.
- 그래서 점 P는 원 외부에 있다. 따라서, 선분 OP는 반지름 OT보다 길다.
- 접선 ℓ 위에서 접점 T가 아닌 모든 점에 대하여 같은 방법을 적용할 수 있다.
- 그러므로 반지름 OT는 원의 중심 O와 접선 ℓ 사이를 잇는 가장 짧은 길이의 선분이다.
- 그리하여 접점 T는 원의 중심 O에서 접선 ℓ 위에 내린 수선의 발과 같다.