- 우선 나눗셈의 뜻을 확실히 하자.
- 그런데 곱셈 및 나눗셈은 덧셈 및 뺄셈과 달리 두 가지 방법으로 이해할 수 있는데 그 이유를 살펴본다.
덧셈과 뺄셈을 이해하는 방법
- 덧셈은 처음 양에 새로운 양을 쌓는 과정이다.
- 처음 양은 더해지는 수이고,
- 쌓은 양이 더하는 수이며,
- 덧셈 결과인 합은 쌓인 후에 누적한 양이다.
- 뺄셈은 처음 양에서 어떤 양을 덜어내는 과정이다.
- 처음 양은 빼지는 수이고,
- 덜어낸 양이 빼는 수이며,
- 뺄셈 결과인 차는 덜어내고 남은 양이다.
곱셈을 이해하는 두 가지 방법
- 첫 번째 곱셈은 한 묶음에 담는 양이 일정할 때, 어떤 개수만큼 묶음을 만드는 과정이다.
- 한 묶음에 담는 양은 곱해지는 수이고,
- 묶음의 개수가 곱하는 수이며,
- 곱셈 결과인 곱은 모든 묶음에 있는 모든 양을 누적한 양이다.
- 두 번째 곱셈은 묶음의 개수가 일정할 때, 각 묶음에 일정한 양이 담기도록 묶음을 만드는 과정이다.
- 묶음의 개수는 곱해지는 수이고,
- 한 묶음에 담는 양이 곱하는 수이며,
- 곱셈 결과인 곱은 모든 묶음에 있는 모든 양을 누적한 양이다.
| 한 묶음의 양이 정해진 곱셈 | 묶음의 개수가 정해진 곱셈 |
| 3개씩 2묶음 만들기 | 3묶음에 2개씩 담아 묶음 만들기 |
| ( ), ( ) (●●●), ( ) (●●●), (●●●) |
( ), ( ), ( ) (●), (●), (●) (●●), (●●), (●●) |
| 귤을 봉지에 담아 포장할 때, 봉지 2장을 하나씩 열어서 귤을 3개씩 담아서 모든 봉지에 들어있는 모든 귤을 세기 |
귤을 봉지에 담아 포장할 때, 봉지 3장을 모두 열어 놓고 귤을 하나씩 2개 담아서 모든 봉지에 들어있는 모든 귤을 세기 |
나눗셈을 이해하는 두 가지 방법
- 첫 번째 나눗셈은 한 묶음에 담는 양이 일정할 때, 처음 양을 몇 개 묶음으로 묶어내는 과정이다.
- 처음 양은 나누어지는 수이고,
- 한 묶음의 양이 나누는 수이며,
- 나눗셈 결과인 몫은 처음 양을 남김없이 묶고나서 만들어진 묶음의 개수다.
- 두 번째 나눗셈은 묶음의 개수가 일정할 때, 처음 양을 똑같은 양으로 된 묶음으로 묶어내는 과정이다.
- 처음 양은 나누어지는 수이고,
- 묶음의 개수가 나누는 수이며,
- 나눗셈 결과인 몫은 처음 양을 남김없이 묶고나서 한 묶음의 양이다.
| 한 묶음의 양이 정해진 나눗셈 | 묶음의 개수가 정해진 나눗셈 |
| 6개를 3개씩 나누어 묶음 만들기 | 6개를 3묶음으로 나누어 묶음 만들기 |
| ●●●●●● ●●● → (●●●) → (●●●), (●●●) |
●●●●●● → ( ), ( ), ( ) ●●● → (●), (●), (●) → (●●), (●●), (●●) |
| 6개의 귤을 봉지에 담아 포장할 때, 봉지를 하나씩 열어서 귤을 3개씩 담아서 봉지의 개수를 세기 |
6개의 귤을 봉지에 담아 포장할 때, 봉지 3장을 모두 열어 놓고 귤을 하나씩 담아서 한 봉지에 담긴 귤의 개수를 세기 |
포함제와 등분제
- 한 묶음의 양이 정해진 나눗셈을 포함제(Quotition)라 부른다.
- 초등학교에서는 '같은 양이 몇 번 들어 있는 나눗셈'이라 한다.
- 묶음의 개수가 정해진 나눗셈을 등분제(Partition)라 부른다.
- 초등학교에서는 '똑같이 나누어 주는 나눗셈'이라 한다.
역수를 곱할 필요가 있는 나눗셈
- 분수의 나눗셈에서 나누는 분수의 역수를 곱해도 되는 이유는 사실 간단하다.
\( \begin{align*} \cfrac{a}{b} \div \cfrac{c}{d} &= \cfrac{ad}{bd} \div \cfrac{bc}{bd} \\ &= ad \div bc = \cfrac{ad}{bc} = \cfrac{a}{b} \times \cfrac{d}{c} \end{align*} \)- 분수의 단위가 되는 분모를 같도록 통분하고,
- 분수의 나눗셈을 분자의 나눗셈으로 바꾼다.
- 그런데 분자의 나눗셈은 원래 분수의 나눗셈에서 나누는 분수의 역수를 곱하는 곱셈과 같다.
- 그런데 이렇게 나누는 수의 역수를 곱하는 아이디어는 어떻게 나온걸까?
- 나누는 수의 역수를 곱할 필요성이 있는 나눗셈의 한 예인 \( 1 \div \frac{1}{2} \)를 보자.
| 포함제 | 등분제 |
| 1개를 1/2개씩 나누어 묶음 만들기 | 1개를 1/2묶음으로 나누어 묶음 만들기 |
| ● ● → (◐) ● → (◐), (◑) |
● → ( )×1/2 ● → (●)×1/2 (●●)×1 |
| 1개를 1/2개씩 나누면, 2묶음이 만들어진다. | 1개를 1/2묶음으로 나누면, 1/2묶음에 1개가 그대로 담긴다. 몫이 되는 한 묶음의 양은 2개다. |
- 나누는 수가 진분수(Proper fraction)1인 분수의 나눗셈을 등분제의 방법으로 보면,
- 나누어지는 수가 그대로 진분수 묶음에 담긴다. 이때, 몫은 얼마인가?
- 등분제에서 몫은 한 묶음에 담긴 양이다.
- 다시 말해, 진분수 묶음에 담긴 양으로 어떻게 한 묶음에 담기는 양을 알 수 있을까?
- 어떤 진분수를 1로 바꾸기 위해서는 진분수에 진분수의 역수를 곱한다.
- 따라서, 진분수 묶음에 담긴 양에 진분수의 역수를 곱하면 한 묶음에 담기는 양을 알 수 있다.
- 다시 말해, 나누어지는 수에 나누는 수의 역수를 곱하면 몫을 알 수 있다.
- 분자가 분모보다 작은 분수 [본문으로]