연산의 뜻

  • 셈(Calculation) 또는 계산이란 수를 세는 과정이다.
    • 예를 들면 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있다.
  • 셈하는 대상을 수에서 일반적인 수학적 대상으로 넓힌 경우 즉, 확장된 셈을 연산(Operation)이라 한다.
  • 수에 대한 셈을 특별히 산술(Arithmetic)[각주:1] 연산이라 한다.
    • 여기서는 산술 연산 중에서도 사칙연산(가감승제)을 주로 살펴본다.

연산 표현

연산 첫 번째
피연산자		 연산
기호		 두 번째
피연산자		 연산
결과
덧셈
Addition		 더해지는 수
Addend, Summand		 + 더하는 수
Addend, Summand		 합
Sum
뺄셈
Subtraction		 빼지는 수
Minuend		 − 빼는 수
Subtrahend		 차
Difference
곱셈
Multiplication		 곱해지는 수
Multiplicand		 ×
*
⋅		 곱하는 수
Multiplier		 곱
Product
나눗셈
Division		 나누어지는 수
Dividend		 ÷
⁄		 나누는 수
Divisor		 몫
Quotient

연산 기호 이름

이항연산

  • 사칙연산은 두 수를 대상으로 하는 공통점이 있다.
  • 따라서, 이항연산(Binary operation)이라 한다.
    • 항(Term)이란, 내용을 나누는 단위다. 연산에서는 대상이 되는 두 수가 항이다.
    • 연산의 대상이라는 뜻에서 항을 피연산자(Operand)라 한다.

중위 표기법

  • 사칙연산을 표현할 때, 연산 기호를 두 피연산자 사이에 쓴다.
  • 이러한 표기법을 중위 표기법(Infix notation)이라 한다.
  • 그런데 왜 사이에 연산 기호를 쓸까?
    • 그 이유는 연산 기호가 만들어진 역사에서 알 수 있다.
    • 일반적으로 글은 입으로 하는 말에서 비롯되는데 '1+1'과 같은 덧셈 식(표현, Expression)도 "1 더하기 1"과 같은 말에서 비롯되었다.
  • 일반적으로 글을 왼쪽부터 차례대로 읽는 것처럼 연산식도 왼쪽부터 차례대로 연산하지 않을까?
  • 아니다. 혼합 계산 순서를 따른다. 왜 그럴까?
    자연수의 혼합 계산 순서 보기
    • 덧셈, 뺄셈이 섞여 있는 식은 왼쪽부터 차례대로 계산한다.
    • 곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식은 왼쪽부터 차례대로 계산한다.
    • 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 섞여 있는 식은 곱셈을 먼저 계산한다.
    • 덧셈, 뺄셈, 나눗셈이 섞여 있는 식은 나눗셈을 먼저 계산한다.
    • 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 식은 곱셈과 나눗셈을 왼쪽부터 차례대로 먼저 계산한다.
    • 괄호가 있으면 괄호 안을 가장 먼저 계산한다.
  • 여러 연산이 섞인 경우를 예를 들어 보자.
    • 식 \( 1+7-3 \)에서 7은
      • 앞에 있는 1에 대해서는 더해지는 수이면서,
      • 뒤에 있는 3에 대해서는 빼지는 수다.
  • 따라서 덧셈과 뺄셈이 섞여 있을 때, 앞에서부터 차례로 연산한다는 규칙이 필요하다.
  • 같은 이유로 곱셈과 나눗셈까지 섞여 있을 경우 곱셈과 나눗셈을 우선하는 규칙이 또한 자연스레 필요하다.
  • 필요에 따라 뒤에 있는 연산을 먼저 하려면 \( 1+\left( 7-3 \right) \)처럼 먼저 하려는 연산을 괄호로 감싼다.
  • 한편, 혼합 계산을 위한 복잡한 순서 규칙을 필요없게 하는 간단한 방법이 있다.
    더보기

    • 연산 기호를 피연산자 사이에 쓰지 않고, 피연산자 앞에 쓰거나 뒤에 쓰면 된다.
      • 연산 기호를 피연산자 앞에 두는 표기법을 전위 표기법(Polish notation[각주:2], Prefix notation)이라 한다.
        • \(-\,+\,1\,7\,3\)
      • 연산 기호를 피연산자 뒤에 두는 표기법을 후위 표기법(Reverse Polish notation, Postfix notation)이라 한다.
        • \(1\,7\,+\,3\,-\)
    • 하지만 사람이 말하는 방식을 닮은 중위 표기법이 더 자연스럽기 때문에 전위 또는 후위 표기법은 널리 쓰이지는 않는다.
      • 대신에 컴퓨터 프로그래밍에는 중위 표기법보다 전위 또는 후위 표기법이 더욱 자연스럽다.

과정을 나타낸 결과

  • 사칙연산을 하면 연산 결과가 나온다.
  • 다시 말해, 더하기 빼기 곱하기 나누기를 하면 더한 값, 뺀 값, 곱한 값, 나눈 값이 결정된다.
  • 연산 과정에 따른 결과를 나타내기 위해 보통 등호(Equals sign, =)를 사용한다.
    • 등호의 왼쪽 부분(좌변, Left-hand side, LHS)에는 연산 과정을 쓰고,
    • 등호의 오른쪽 부분(우변, Right-hand side, RHS)에는 연산 결과를 쓴다.
    • 예를 들어, '1+3=4'와 같이 나타낸다.
  • 그런데 이러한 표현 방법에는 주의할 점[각주:3]이 있다.
    • 일반적으로 과정과 결과라는 두 개념에는 과정 뒤의 결과라는 순서가 있다.
      • 우리가 경험하는 세계에서 과정이 없는 결과란 없기 때문이다.
    • 그렇다면 왜 순서를 나타내는 쉬운 기호인 화살표[각주:4]를 사용하여 '1+3→4'와 같이 표현하지 않을까?
    • 두 수에 대한 연산 과정의 결과로써 어떤 수가 나오는 것이 아니라, 연산 결과는 이미 존재하는 어떤 수와 같다는 관계를 맺기 때문이다.[각주:5]
      • 모든 수가 존재하는 수의 세계[각주:6]에서,
      • 1에 3을 더한 수도 이미 존재한다.
      • 그런데, 이 수는 이미 존재하는 4라는 수와 같다.
    • 그러므로 좌변과 우변이 같음을 뜻하는 등호를 사용하여, 등식 '1+3=4'로 나타낸다.
  • 글을 왼쪽부터 차례대로 읽기 때문에, 우리에게는 연산식에도 과정과 결과의 순서가 있는 것처럼 보인다. 그러나 이것은 착시라는 점에 주의해야 한다.
    • 또한, 착시에서 벗어나면 '1+3'은 수 4를 뜻하는 여러 가지 식 중에 하나로 볼 수도 있다.
      • '1+3'은 연산 과정일 뿐만 아니라 그 자체로 연산 결과를 뜻한다.
      • 다시 말해 '1+3'은 연산 과정을 표현했지만, 연산 결과인 수 4를 표현한 것과 다름없다.
  1. 산술은 수와 수에 대한 연산으로부터 발전된 수학의 한 분야다. 그리고 산술로부터 수론(Number theory)이라는 분야가 발전되었다. 더 나아가 수론으로부터 대수(Algebra)라는 분야가 발전되었다. 이와 같은 발전은 수학적 사고와 밀접한 관련이 있다. 수학적 사고란 양, 구조, 공간, 변화 속에서 어떤 패턴을 인식하고 추론하여 정당화하는 일련의 활동이다. 특히, 인식된 패턴은 인식되기 전의 대상으로부터 뽑혀 나온 것이므로 추상(Abstraction)이라 할 수 있다. 다시 말해, 거듭되는 추상화 과정을 통해 수와 수에 대한 연산으로부터 대수까지 발전된 것이다. [본문으로]
  2. 폴란드의 논리학자 얀 우카시에비치(Jan Łukasiewicz)가 1924년에 고안한 표기법이다. 따라서, 폴란드인의 표기법 또는 폴란드식 표기법으로 알려졌기 때문에 이러한 이름이 붙었다. [본문으로]
  3. 김남희 외 5인(2011). 수학교육과정과 교재연구 개정판(p.70-71). 경문사. [본문으로]
  4. 화살표는 수학의 논리(Logic)라는 분야에서 주로 사용되는 기호다. 보통 'p→q'는 'p이면 q이다'라는 뜻으로 사용된다. 또한, 논리 분야 밖에서는 'p는 q에 대응된다'라는 뜻으로도 사용된다. [본문으로]
  5. 수 체계가 확장되는 흐름에서 어떤 연산 결과로 새로운 수가 만들어지는 것처럼 보일 때도 있지만, 엄밀히 따지면 그런 경우에도 수는 만들어지는 것이 아니라 발견되었다고 할 수 있다. [본문으로]
  6. 모든 수의 집합(Set). [본문으로]

티스토리툴바