도함수의 부호 바뀜과 사잇값의 정리

페르마의 정리

$a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능한 함수 $f\left(x\right)$에 대하여
$f\left(x\right)$가 $x=a$에서 극값을 가지면 $f^{\prime }\left(a\right)=0$이다.

• '페르마의 마지막 정리'로 유명한 페르마의 이름이 붙은 정리다.
• 정리의 의미에 따라 '내부 극값 정리'라고도 불린다.
• 2015 개정 교육과정 고등학교 수학Ⅱ의 여러 교과서에는
  • '극값을 가질 때의 미분계수',
  • '극값과 미분계수',
  • '극값과 미분계수 사이의 관계' 등으로 등장한다.

일계도함수 판정법

a를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능한 함수 $f\left(x\right)$에 대하여
$x=a$의 좌우에서 $f^{\prime }\left(x\right)$의 부호가 바뀌면 $f\left(x\right)$는 $x=a$에서 극값을 갖는다.

• 극값 여부를 판정할 수 있다는 의미로 이름이 붙은 정리다.
• 영어로는 'Derivative test'이므로 '미분 판정법'이라 할 수도 있다.
• 2015 개정 교육과정 고등학교 수학Ⅱ의 여러 교과서에는 '함수의 극대와 극소의 판정'으로 등장한다.

사잇값의 정리와의 유사점

• 페르마의 정리와 일계도함수 판정법은 극값이라는 고리로 아래와 같이 연결된다.

$a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능한 함수 $f\left(x\right)$에 대하여, $x=a$의 좌우에서 $f^{\prime }\left(x\right)$의 부호가 바뀌면 $f^{\prime }\left(a\right)=0$이다.

• 갑자기 사잇값의 정리가 떠오를 것이다.
• 그러나 사잇값의 정리는 연속함수를 가정하는데 위 정리에서 도함수 $f^{\prime }\left(x\right)$가 연속이라는 가정은 없으며 일반적으로 도함수가 연속이라 할 수도 없다.
• 그럼에도 위의 연결된 정리는 분명히 사잇값을 암시한다.^[각주:1]
• 따라서 이러한 유사성 때문에 오개념이 발생할 수 있다.
• 그러므로 '도함수 $f^{\prime }\left(x\right)$의 부호 바뀜'을 '원시함수 $f\left(x\right)$의 증감 바뀜'으로 이해하면,
  • $x=a$의 좌우에서 $f^{\prime }\left(x\right)$의 부호가 바뀌면
  • $x=a$의 좌우에서 $f\left(x\right)$의 증감이 바뀌므로,
  • $f\left(x\right)$는 $x=a$에서 극값을 가지게 되고,
  • $f^{\prime }\left(a\right)=0$이라는
• 순서로 이해가 되니 오개념을 방지할 수 있다.

참고

• 고성은 외 5인(2019). 고등학교 미적분(p.105). 좋은책신사고.
  • 사실 이 교과서에 쓰인 아래 문장에서 이번 포스트가 나왔다.
  • "변곡점 $P(a,f\left(a\right))$의 좌우에서 $f^{″}\left(x\right)$의 부호가 바뀌므로 $f^{″}\left(a\right)$가 존재하면 $f^{″}\left(a\right)=0$이다."
  • 이 문장이 자명한 것 처럼 비춰질 수 있어 학생들에게 그 이유를 물었다.
  • 대부분의 학생들이 미심쩍어 하면서도 사잇값의 정리를 그 근거로 말했다.
  • 물론 나 또한 그랬으며, 되새겨 생각하기를 거듭하여 이번 포스트와 같이 정리할 수 있었다.
• 박교식 외 19인(2018). 고등학교 수학Ⅱ(p.86-87). 동아출판.

1. 사실 위의 연결된 정리는 도함수의 일반적인 사잇값 성질로 확장된다. 다르부의 정리(Darboux's theorem)라 한다. [본문으로]