\(f\left(x\right)>0\)인 경우
- \( \cfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)} = 1 \)이므로
- \( \int \cfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)} dx = \int 1 dx \)이다.
- 따라서 \( \ln{f\left(x\right)} = x+C \)이다.
- 즉, \(f(x)=e^{x+C}\)이다.
\(f\left(x\right)>0\)이라는 가정이 없다면 어떨까?
- \(f'\left(x\right)-f\left(x\right)=0\)에서 출발하자.
- 이 식에 임의의 함수 \(g\left(x\right)\)를 곱해보면 무언가 떠오를 것이다.
- \(f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)=0\)
- 곱의 미분 규칙(Product rule)
\( \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)' = f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right) \)
이 연상되는 식임에 분명하다.
- \(-g\left(x\right)=g'\left(x\right)\)이라는 조건만 \(g\left(x\right)\)가 만족하면 더할 나위 없이 완벽하다.
- 그런데 \(g\left(x\right)\)는 임의의 함수이므로, 위 조건을 만족하는 함수 \(e^{-x}\)를 \(g\left(x\right)\)에 대입하자.
- \( f'\left(x\right)e^{-x}-f\left(x\right)e^{-x} = 0 \)
- 즉, \( \left( f\left(x\right)e^{-x} \right)' = 0 \)이므로
- \( f\left(x\right)e^{-x} = C \)이다.
- 그러므로 \(f\left(x\right)=Ce^{x}\)이다.
