베르나르 베르베르가 수집한 142857에 대한 여러 수식

  • 프랑스의 작가 베르나르 베르베르(Bernard Werber)는 여러 가지 아이디어를 조합하여 흥미로운 이야기를 만든다.
  • 그는 소설 《신》에서 주인공의 사는 빌라 주소로 142857이라는 수를 사용했고,
  • 자신의 아이디어 모음집 《상대적이며 절대적인 지식의 백과사전》에 다음과 같이 142857과 관련된 여러 수식을 실었다.
142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
142857×7=999999		 142+857=999
14+28+57=99

142857²=20408122449
20408+122449=142857

여러 수식에서 발견되는 패턴을 구체적으로 확장하면 다음과 같다.

142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
142857×7=999999		 142+857=999
285+714=999
428+571=999
571+428=999
714+285=999
857+142=999
999+999=999×2		 14+28+57=99
28+57+14=99
42+85+71=99×2
57+14+28=99
71+42+85=99×2
85+71+42=99×2
99+99+99=99×3		 1+4+2+8+5+7=9×3
2+8+5+7+1+4=9×3
4+2+8+5+7+1=9×3
5+7+1+4+2+8=9×3
7+1+4+2+8+5=9×3
8+5+7+1+4+2=9×3
9+9+9+9+9+9=9×6		 142857²
=20408122449

20408+122449
=142857

여기서 눈에 띄는 여러 성질을 살펴보자.

142857의 여러 성질

  • 142857과 7의 곱은 999999다.
  • 6자리 수 142857과 1부터 6까지의 곱은
    • 모두 6자리 수이며,
    • 숫자 1, 4, 2, 8, 5, 7이 순서있게 자리만 바뀐 채로 표현된다.
  • 6자리 수 142857과 1부터 6까지의 곱을
    6보다 작은 약수 d자리씩 끊어 더한 합은 모든 자리의 숫자가 9인 d자리 수의 배수이다.
    • 3자리씩 끊어 더하면, 999의 배수이다.
    • 2자리씩 끊어 더하면, 99의 배수이다.
    • 1자리씩 끊어 더하면, 9의 배수이다.
  • 142857의 제곱을 적당히 끊어 더하면, 다시 142857이 된다.

142857이 여러 성질을 가진 이유를 밝히기 위해 각 성질을 추상화하여 큰 틀에서 보자.

순환마디 142857

  • 순환마디(Repetend)란 순환소수(Repeating decimal)에서 소수점 아래로 한없이 반복되는 숫자열이다.
  • 순환소수의 정수 부분이 0이고, 소수점 아래 첫째 자리부터 순환마디이며, 순환마디의 길이가 n이라면,
    순환소수는 다음을 만족하는 분수로 표현된다.[각주:1]
    • 분모는 모든 자리의 숫자가 9인 n자리 수이다.
    • 분자는 순환마디이다. 앞 자리의 0을 수의 일부로 허용할 때, n자리 수이다.
  • 따라서, 순환소수의 분수 표현은 다음과 같은 수식으로 정리된다.[각주:2]
    0.(a1⋯an)=a1⋯an9⋯9⏟n개
  • 다양한 소수를 분수로 표현하며 직접 확인해보자.
  • 역으로 다양한 분수를 소수로 표현하며 직접 확인해보자.
  • 한편, 142857과 7의 곱은 999999다.
    • 즉, 142857×7 = 999999인데, 이 등식의 양변을 7×999999로 나누면,
    • 142857999999=17이다. 좌변은 순환소수의 분수 표현에 따르면, 아래와 같이 순환소수로 표현된다.
    • 0.(142857)=17
  • 그러므로 142857은 분수 17의 순환소수 표현의 순환마디로 볼 수 있다.

순환수 142857

  • 순환수(Cyclic number)란 다음을 만족하는 n자리 수다.
    • 자신과 1부터 n까지의 곱은 모두 n자리 수이며, 같은 숫자들이 순서있게 자리만 바뀐 채로 표현된다.
    • 자신과 (n+1)의 곱은 모든 자리의 숫자가 9인 n자리 수이다.[각주:3]
  • 6자리 수 142857과 1부터 6까지의 곱은 모두 6자리 수이며, 7과의 곱은 999999다.
  • 순환소수의 분수 표현을 따르면, 142857과 1부터 6까지의 곱은 999999로 나누고 나면 순환소수로 표현된다.
    • 142857×2999999=285714999999
    • 27=285714999999
    • 27=0.(285714)
  • 따라서 1부터 6까지의 수를 7로 나누는 과정 속에 순환수의 실마리가 있다.

순환하는 나머지

그림1. 1부터 6까지의 수를 7로 나눌 때, 순환하는 나머지

  • 긴 나눗셈 과정 중에 소수점 아래에서 나누어떨어지지 않는 경우, 나머지의 10배는 다시 나누어지는 수가 된다.
  • 그림1은 1부터 6까지의 수를 7로 나누는 과정을 장제법으로 표현한 것이다.
  • 청록색과 녹색으로된 나머지와 그 나머지의 순환구조에 주목하자.
    • 1부터 6까지의 수를 7로 나눌 때,
    • 첫 번째 나머지로 몫이 0이므로 나누어지는 수가 그대로 나오고,
    • 그 후의 나머지로 1, 3, 2, 6, 4, 5의 순서대로 첫 번째 나머지 다음의 숫자들이 연이어 나온다.
  • 결국 6자리 수 142857과 1부터 6까지의 곱은
    • 분수 1/7과 1부터 6까지의 곱으로 연결되고, 각각의 곱은
    • 1/7부터 6/7까지의 분수로 연결되며, 각각의 분수는
    • 1÷7부터 6÷7까지의 나눗셈으로 연결된다.
    • 끝으로 각각의 나눗셈에서 나머지는 순환구조를 가진다.
  • 따라서, 6자리 수 142857과 1부터 6까지의 곱에서 같은 숫자들이 순서있게 자리만 바뀐 채로 표현된다.
  • 이러한 나머지의 순환구조는 어떤 경우에 만들어질까?

나눗셈에서 가능한 모든 나머지가 등장하는 경우

그림2. 가능한 모든 나머지가 등장하는 1÷7

  • 서로소인 m과 n에 대하여 m을 n으로 나눌 때, 나머지는 나누는 수보다 작으므로
    가능한 나머지는 0부터 (n-1)까지 모두 n개이다.
    • 그런데, 나머지가 0이 될 수 있는 경우는 제한된다.
    • 나머지가 0. 즉, 나누어떨어지기 위해서는 나누는 수 n의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 한다.
    • 따라서, 일반적으로 나머지가 0이 될 수 없는 경우에 가능한 나머지는 1부터 (n-1)까지 모두 (n-1)개이다.
  • 한편, 그림2와 같이 1÷7에서 가능한 나머지인 1부터 6까지 모두 6개의 나머지가 다 등장한다.
    • 10 ÷ 7 = 1 ··· 3
    • 30 ÷ 7 = 4 ··· 2
    • 20 ÷ 7 = 2 ··· 6
    • 60 ÷ 7 = 8 ··· 4
    • 40 ÷ 7 = 5 ··· 5
    • 50 ÷ 7 = 7 ··· 1
  • 따라서, 2이상 6이하의 임의의 수 k에 대하여 k÷7은 1÷7에서 나머지가 k인 단계의 바로 다음 단계부터 순환된다.
  • 그러므로 가능한 모든 나머지가 등장하면 나머지의 순환구조가 만들어진다.
    • 특히, 소수 p에 대하여 1÷p에서 1부터 (p-1)까지 모두 (p-1)개의 나머지가 등장하는 경우에 p를 전순환 소수(Full reptend prime)라 한다. 이를테면 7, 17, 19 등의 소수가 전순환 소수이다.
    • 한편, 전순환 소수 p를 원시근(Primitive root)의 관점에서 볼 수도 있다.
      더보기
      • 10이 법 p에 대한 원시근일 때, p는 전순환 소수이다.
      • 예를 들어, 10은 법 7에 대한 원시근이다.
        • 10 ≡ 3 (mod 7)
        • 102 ≡ 2 (mod 7)
        • 103 ≡ 6 (mod 7)
        • 104 ≡ 4 (mod 7)
        • 105 ≡ 5 (mod 7)
        • 106 ≡ 1 (mod 7)

미디의 정리를 만족하는 142857

  • 미디의 정리(Midy's theorem)란 다음과 같은 명제다.
  • 소수(Prime number) 분모를 가진 분수가 순환마디의 길이가 n인 순환소수로 표현될 때,
    n의 임의의 진약수(Proper divisor)[각주:4] d에 대하여 길이 d로 순환마디를 끊어 더한 합은 모든 자리 숫자가 9인 d자리 수 9⋯9⏟d개의 배수다.
  • 142857은 소수 7을 분모로 가진 분수 1/7의 순환소수 표현에서 순환마디이므로, 미디의 정리의 조건을 만족한다.
  • 미디의 정리는 어떻게 성립하는 걸까?

모든 자리 숫자가 9인 수의 인수분해

  • 모든 자리 숫자가 9인 n자리 수는 모든 자리 숫자가 9인 n의 진약수 d자리 수의 배수가 된다.
  • 다시 말해, 9⋯9⏟n개는 9⋯9⏟d개의 배수이다. 특히, 아래와 같이 인수분해된다.
    • 99 = 9×11
    • 999 = 9×111
    • 9999 = 9×1111 = 99×101
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      • 9999 = 9900 + 99 = 99×100 + 99 = 99×101
    • 99999 = 9×11111
    • 999999 = 9×111111 = 99×10101 = 999×1001
      더보기
      • 999999 = 990000 + 9900 + 99 = 99×10000 + 99×100 + 99 = 99×10101
      • 999999 = 999000 + 999 = 999×1001

유클리드의 보조정리

미디의 정리 증명

  • 미디의 정리의 대표 사례인 142857에서 142+857이 999의 배수가 되는 과정으로 증명을 대신한다.
  • 142857과 7의 곱은 999999다. 그리고 999999는 999×1001로 인수분해된다.
  • 따라서, 142867×7 = 999×1001이다.
  • 이 식은 두 수 999와 1001의 곱이 소수 7의 배수라는 것으로 볼 수 있다.
  • 따라서, 유클리드의 보조정리에 따라 999와 1001 중에 적어도 하나는 반드시 소수 7의 배수이다.
  • 만약 999가 7의 배수라면, 이것은 분수 17의 순환마디 길이가 6임에 모순된다.
    • 만약 999가 7의 배수라면, 999 = 7×a를 만족하는 어떤 수 a가 있다. 등식의 양변을 7×999로 나누면,
    • 17=a999가 된다.
    • 여기서 142857과 7의 곱이 999999이므로 좌변은 순환마디의 길이가 6임이 확실하다.
    • 한편, 순환소수의 분수 표현에 따르면, a999는 순환마디의 길이가 3인 순환소수로 표현된다.
    • 따라서 좌변과 우변은 같을 수 없다.
  • 그러므로 1001은 소수 7의 배수이다.
  • 다른 말로 1001은 7로 나누어떨어진다고 할 수 있다. 1001을 7로 나눈 몫을 b라 하자.
  • 등식 142857×7 = 999×1001의 양변을 공통인수인 7로 나누면,
  • 142857 = 999×b이다. 이는 142857이 999의 배수라는 것으로 볼 수 있다.
  • 또한, 142857에서 999를 142번 뺀 수도 999의 배수이다.
  • 한편, 142857에서 999를 142번 뺀 수는 142와 857의 합과 같다.
    • 142857 - 999 = (142000 - 999) + 857 = 141000 + 1 + 857 = 1 + 141857
    • 1 + 141857 - 999 = (141000 - 999) + 857 = 140000 + 2 + 857 = 2 + 140857
    • 이와 같은 방법으로 반복하여 999를 빼면 다음과 같다.
    • 141 + 1857 - 999 = (1000 - 999) + 857 = 0 + 142 + 857 = 142 + 857
  • 그리하여 142와 857의 합은 999의 배수가 된다.

카프리카 수 142857

  • 카프리카 수(Kaprekar number)란 자신의 제곱을 적당히 끊어 더하면, 다시 자신이 되는 수다.
  • 예를 들어, 다음은 몇 가지 카프리카 수다.
    • 9² = 81, 8+1 = 9
    • 45² = 2025, 20+25 = 45
    • 55² = 3025, 30+25 = 55
    • 99² = 9801, 99+1 = 99
    • 297² = 88209, 88+209 = 297
  1. 위키백과의 순환소수 글에서 순환소수를 분수로 바꾸기(Converting repeating decimals to fractions)라는 항목에 그 방법이 잘 설명되어 있다. [본문으로]
  2. 순환마디를 표기하는 방법은 다양하다. 학교에서는 순환마디 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어 표기한다. 여기서는 순환마디를 소괄호로 감싸겠다. [본문으로]
  3. 이 조건이 꼭 필요한 지는 모르겠다. 순환수의 첫 번째 조건을 만족하면 이 조건도 만족하지 않을까? [본문으로]
  4. n보다 작은 n의 약수를 말한다. [본문으로]
  5. 참으로 인정된 명제를 정리(Theorem)라고 한다. 보조정리(Lemma)는 정리지만, 더 포괄적인 정리를 증명하는 중간에 사용된 정리라는 점에서 '보조'정리라고 한다. 그런데 보조정리가 여러 상황에서 자주 쓰일 때는 '유클리드의' 보조정리처럼 별도의 이름이 있다. 유클리드의 원론 제7권의 30번째 명제에서 이 보조정리가 처음으로 등장했기 때문에 유클리드의 보조정리라고 한다. [본문으로]
xandy배우고 만들기를 즐기는 수학 교사의 블로그입니다. 무언가를 배우고 그것을 바탕으로 어떤 것을 만듭니다. 반대로 먼저 어떤 것을 만들면서 무언가를 배우기도 합니다.

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