2014년 1월 22일에 작성한 텀블러 포스트이다.
영문 위키에 있는 'Thales' theorem'의 일부를 번역했다.
기하에서 탈레스의 정리는 세 점 A, B, C가 동일원 위에 있고 AC는 원의 지름이면, ∠ABC는 직각이라는 것이다. 탈레스의 정리는 원주각의 정리의 특별한 경우이다.
역 (Converse)
탈레스의 정리는 역도 성립한다. 역은 직각삼각형의 빗변은 외접원의 지름이라는 것이다. 이것을 탈레스의 정리와 함께 서술하면 다음을 얻는다.
삼각형의 외접원의 중심이 삼각형의 변 위에 있을 필요충분조건은 삼각형이 직각삼각형인 것이다.
기하를 이용한 역의 증명
이 증명은 두 부분으로 이루어진다. 하나는 직각삼각형으로 직사각형을 만드는 것이다. 다른 하나는 직사각형의 중심은 꼭짓점으로부터 등거리에 있고, 따라서 그 중심이 원래 삼각형의 외접원의 중심이 된다는 것이다. 여기에는 두 사실이 이용된다.
- 평행사변형에서 이웃하는 두 각의 합은 180° 이다.
- 직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로의 중점에서 만난다.
∠ABC가 직각이라고 하고, 직선 r이 A를 지나고 BC에 평행하다고 하자. 그리고 직선 s는 C를 지나고 AB에 평행하다고 하자. D를 직선 r과 s의 교점이라고 하자. 아직 D가 외접원 위에 있음을 증명하지 않았다는 것에 주의하자.
가정에 의해 사변형 ABCD는 평행사변형이 된다. ∠ABC는 직각이므로 1에 의해 사변형은 직사각형이 된다. O를 두 대각선의 교점이라고 하면, 2에 의해 O에서 세 점 A, B, C까지의 거리는 같다. 따라서 는 외접원의 중심이다. 그리고 직각삼각형의 빗변은 원의 지름이 된다.