Fundamental Theorem of Directly Similar Figures

2014년 1월 22일에 작성한 텀블러 포스트이다.

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'Cut-the-knot'에 있는 'Three Similar Triangles Theorem'을 약간의 편집과 부가설명을 더해 번역했다. 아래의 증명은 쉽게 일반화되므로 일반화된 정리의 이름을 제목으로 붙였다. 특히 'Directly Similar'를 우리말로 '직접 닮음'이라고 옮겨봤는데 그 진짜 의미를 반영하지 못하는 것 같아서 제목만은 영문 그대로 둔다. 그리고 이와 유사한 '더글라스-노이만 정리'(Douglas-Neumann Theorem)를 찾았는데, 두 정리가 정확히 같은 것인지는 모르겠다.

- 기하적 증명 개요 추가 (2014년 2월 4일)

세 개의 닮은 삼각형 정리 (Three Similar Triangles Theorem)

꼭짓점이 같은 시계방향이거나 반시계방향으로 선회하는 임의의 두 닮은 삼각형^[각주:1] △ABC와 △A′B′C′를 잡자. 세 선분 AA′, BB′, CC′를 같은 비율로 나누는 점을 각 선분 위에 잡고, 세 점을 연결하자. 새로운 삼각형은 주어진 두 삼각형과 닮음이다.

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꼭짓점을 복소수로 생각하자. 두 삼각형 △ABC와 △A′B′C′가 닮음일 필요충분조건은 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{B-A}{C-A}=\frac{B^{\prime }-A^{\prime }}{C^{\prime }-A^{\prime }}\end{array}$$

이 조건은 길이의 비인 AB/AC와 A′B′/A′C′가 같음을 의미할 뿐만 아니라 두 변 사이의 각이 같음을 의미한다.^[각주:2]
식 $(\text{1})$은 행렬식을 이용하여 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \left|\begin{array}{ccc}A& A^{\prime }& 1\\ B& B^{\prime }& 1\\ C& C^{\prime }& 1\end{array}\right|=0\end{array}$$

이제 정리는 행렬식에 관한 다음의 유명한 성질로 증명된다.

1. 한 행 또는 한 열에 상수 인수가 곱해졌으면, 행렬식은 그 인수만큼 곱해진다.
2. 한 열(행)이 다른 열(행)에 더해져도 행렬식의 값은 변하지 않는다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \left|\begin{array}{ccc}A& \lambda A+\mu A^{\prime }& 1\\ B& \lambda B+\mu B^{\prime }& 1\\ C& \lambda C+\mu C^{\prime }& 1\end{array}\right|=0\end{array}$$

동시에 0이 아닌 임의의 λ와 μ에 대하여 식 $(\text{2})$에 의해 식 $(\text{3})$이 성립한다. 특히, λ + μ = 1 인 경우는 아래의 '직접 닮은 도형의 기본 정리'의 경우에 해당한다.

직접 닮은 도형의 기본 정리
: 직접 닮은(directly similar) 두 도형의 대응하는 각 쌍의 꼭짓점을 연결하는 직선을 같은 비율로 나누는 점들을 꼭짓점으로 갖는 도형은 주어진 두 도형과 닮음이다.

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부분적인 역을 증명할 수도 있다. 식 $(\text{2})$와 λ + μ = 1, λ₁ + μ₁ = 1과 다음의 행렬식을 만족하는 적당한 λ, μ, λ₁, μ₁가 존재한다고 하자.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \left|\begin{array}{ccc}A& \lambda A+\mu A^{\prime }& 1\\ B& \lambda B+\mu B^{\prime }& 1\\ C& {\lambda }_{1}C+{\mu }_1{C}^{\prime }& 1\end{array}\right|=0\end{array}$$

또한, C와 C′는 다르고 복소수에 대응하는 삼각형들은 퇴화(degenerate)^[각주:3]되지 않았다고 하자.
식 $(\text{2})$에 의해 식 $(\text{3})$이 성립하고, 다음이 성립한다.
λ₁C + μ₁C = λC + μC′ - {(λ - λ₁)C + ( μ - μ₁)C′}
따라서, 식 $(\text{4})$는 다음과 같다.

$$\{(\lambda -{\lambda }_1)C+(\mu -{\mu }_1)C^{\prime }\}\left|\begin{array}{cc}A& 1\\ B& 1\end{array}\right|=0$$

A와 B는 서로 다른 점이므로, 위 식의 행렬식 인수는 0이 아니다. 따라서, 다음이 성립한다.
$$\begin{array}{}\text{(5)}& (\lambda -{\lambda }_1)C+(\mu -{\mu }_1)C^{\prime }=0\end{array}$$
λ + μ = 1, λ₁ + μ₁ = 1에 의하여 다음이 성립한다.
$$\begin{array}{}\text{(6)}& (\lambda -{\lambda }_1)+(\mu -{\mu }_1)=0\end{array}$$
만약, λ ≠ λ₁이면, $(\text{5})$와 $(\text{6})$은 C = C′를 함의한다. 이는 가정에 위배된다. 그러므로 λ = λ₁, μ = μ₁ 이다.

기하적 증명 개요

Coxeter와 Greitzer가 지은 《기하학 재고(再考), Geometry Revisited》의 정리4.82는 다음과 같다.

Any two directly similar figures are related either by a translation or by a spiral similarity.

따라서, 직접 닮은 두 도형이 평행 이동에 의해 합동이 아니면, 나선 변환의 관계에 있다. 그리고 나선 변환의 중심은 유일하게 존재한다. 이 중심점과 닮음비를 이용하여 "직접 닮은 도형의 기본 정리"를 증명할 수 있다.

이 링크에서 엄밀한 증명을 하지는 않지만, 조금 더 자세한 개요를 설명하고 있다.

참고로 수학올림피아드 커뮤니티 xMO의 '셈이'라는 작성자는 《Geometry Revisited》를 다음과 같이 소개하고 있다.

(논증)기하에 기본적인 공부가 이미 된 학생들이 더 심화하여 공부할 수 있는 책. 꼭 알아야하는 내용이 아닌, 부가적으로 공부해볼만한 내용들로 구성되어 있고 마지막에 반전기하와 사영기하도 소개하고 있음. 도비출판사의 《수학올림피아드 평면기하학(윤옥경)》이 위의 책을 조금 축소 편저한 책(구. 재능기하가 다시 출간됨).

1. 직접 닮음(Directly Similar)에 대한 설명이다. [본문으로]
2. B - A := r₁e^iθ₁, C - A := r₂e^iθ₂ 라고 하면, $\frac{B-A}{C-A}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$이기 때문이다. [본문으로]
3. 삼각형의 세 꼭짓점이 일직선 상에 있게 되면, 퇴화되었다고 한다. [본문으로]