포락선 (Envelope)

2014년 1월 24일에 작성한 텀블러 포스트이다.

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영문 위키백과의 'Envelope'를 우리말로 옮겨 봤다. 그리고 그 밑에 영문 위키에서 포락선의 정의를 얻는 방법과는 다르게 정의를 유도하는 wiki.mathnt.net의 증명을 조금 수정하여 정리했다.

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Envelope

기하학에서, 평면 곡선족(family)^[각주:1]에 대한 포락선(Envelope)은 곡선족의 각 곡선과 적당한 점에서 접하는 곡선이다. 고전적으로, 포락선 위의 한 점은 두 개의 인접한 곡선의 교점으로 생각할 수 있다. 이 때, 포락선은 인접해 있는 곡선들의 교점들의 극한을 의미한다. 이러한 발상은 공간 상의 포락면으로 일반화 될 수 있으며, 물론 더 높은 차원으로도 확장된다.

평면 곡선족에 대한 포락선

곡선족 $\mathcal{D}$의 각 곡선 C_t가 매개변수 t의 음함수 형태의 방정식 f_t(x, y) = 0 의 해로 주어졌다고 하자. 이제 F(t, x, y) = f_t(x, y)로 표현하고, F는 미분가능하다고 가정하자^[각주:2]. 그러면 곡선족의 포락선은 적당한 t의 값에 대하여 다음을 만족하는 점 (x, y)의 집합으로 정의된다.
$$F(t,x,y)=\frac{\partial F}{\partial t}(t,x,y)=0$$
여기서 ∂F/∂t는 t에 대한 F의 편미분이다.

두 매개변수 값 t, u에 대하여 t≠u이면, 곡선 C_t와 C_u의 교점은 다음을 만족한다.
F(t, x, y) = F(u, x, y) = 0

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$F(t,x,y)=\frac{F(u,x,y)-F(t,x,y)}{u-t}=0$$
여기서 u→t 하면, 위의 정의를 얻게 된다.

한 가지 중요하고 특별한 경우는 F(t, x, y)가 t에 대한 다항식일 때이다. 이것은 F(t, x, y)가 t에 대한 유리식일 때, 분모를 정리한 경우도 포함한다. 이 경우에서, 위의 정의는 t가 F(t, x, y)의 이중근이 되는 것과 같다. 따라서 F의 판별식을 0으로 두면 포락선의 방정식을 찾을 수 있다.

F가 매개변수에 대한 유리함수가 아닐 때, 가끔은 적당한 치환을 통해 다항함수로 변형할 수 있다. 예를 들어 곡선족이 C_θ에 의해 u(x, y)cosθ + v(x, y)sinθ = w(x, y)로 주어졌다고 하자.

이 때, t = eiθ로 치환하면 다음과 같다.
$\cos \theta =\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})$, $\sin \theta =\frac{1}{2i}(t-\frac{1}{t})$
이 치환은 위의 곡선의 방정식을 다음과 같이 t의 유리함수로 변형한다.
$$\frac{u}{2}(t+\frac{1}{t})+\frac{v}{2i}(t-\frac{1}{t})=w$$
즉, (u-iv)t² - 2wt + (u+iv) = 0 이다. 이제 판별식을 0으로 두고 정리하면, u² + v² = w²을 얻는다.

대체할 수 있는 정의들

• 포락선 E₁은 인접한 곡선 C_t의 교점의 극한이다.
• 포락선 E₂는 모든 C_t에 접하는 곡선이다.
• 포락선 E₃는 곡선 C_t의 자취 영역의 경계이다.

그러면, 처음의 정의에서 주어진 곡선족 $\mathcal{D}$에 대하여 E₁⊆D, E₂⊆D, E₃⊆$\mathcal{D}$이다.^[각주:3]

포락선

평면 곡선들이 매개변수 t에 의해 음함수 형태로 F(t, x, y) = f_t(x, y) = 0 과 같이 주어지고, F는 t에 대하여 미분 가능하다고 가정하자. 이 때, 포락선은 어떤 t가 존재하여
$$F(t,x,y)=\frac{\partial F}{\partial t}(t,x,y)=0$$
을 만족하는 점 (x, y)의 집합이다.

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포락선이 r(t) = (x(t), y(t))로 매개화 되었다고 하자. 그러면, F(t, x(t), y(t)) = 0 이다.
t = t₀에 대하여 포락선 위의 점은 r(t₀) = ( x(t₀), y(t₀))이다. r(t₀)에서 포락선은 주어진 곡선들 중 하나와 접하므로 다음이 성립한다.
<∇ f_t₀(x, y), r′(t₀)> = 0
즉, 다음과 같다.
$$(\frac{\partial f_{t_0}}{\partial x},\frac{\partial f_{t_0}}{\partial y})\cdot (x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0))=0$$
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\partial f_{t_0}}{\partial x}{x}^{\prime }(t_0)+\frac{\partial f_{t_0}}{\partial y}{y}^{\prime }(t_0)=0\end{array}$$
한편, F(t, x(t), y(t)) = 0 를 t에 관해 미분하면 다음과 같다.
$$\begin{array}{rl}0& =\frac{dF}{dt}(t,x,y)\\ & =\frac{\partial F}{\partial x}(t,x,y)x^{\prime }(t)+\frac{\partial F}{\partial y}(t,x,y)y^{\prime }(t)+\frac{\partial F}{\partial t}(t,x,y)\end{array}$$
그리고, F(t, x, y) = ft(x, y) 이므로 다음이 성립한다.
$$\frac{\partial f_{t_0}}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial x}(t_0,x,y)$$
$$\frac{\partial f_{t_0}}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial y}(t_0,x,y)$$
따라서 t = t₀일 때, 식 $(\text{1})$에 의하여 다음이 성립한다.
$$\frac{\partial F}{\partial t}(t_0,x,y)=0$$
t₀는 임의의 값이므로 $\frac{\partial F}{\partial t}(t,x,y)=0$이 성립한다.

1. 'Family of Curves'를 곡선족으로 번역했는데, 정확한 우리말 용어는 모르겠다. 아무튼 곡선족은 무엇일까? S 위의 집합족 F(Family of sets over S)가 S의 부분집합들의 집합을 뜻한다는 점에서 따져볼 때, S를 모든 곡선의 점들의 집합으로 생각하고 곡선족의 원소는 그러한 점들의 부분집합으로 보고, 곡선족의 한 곡선은 원래 곡선들 중의 하나로 생각하는 것이 아닐까? 어쨌든 여기서는 곡선족이라는 용어의 의미는 확실히 몰라도 지장이 없으므로 대강 곡선들의 모임이라고 생각해도 무방할 듯 하다. [본문으로]
2. 맥락상 변수 t에 대해 미분 가능하다는 의미인 것 같다. [본문으로]
3. 첫 번째 주석에서 따져본 결과로, 곡선족 $\mathcal{D}$의 원소는 모든 곡선 위의 점들의 집합의 부분집합이라고 생각하면 포락선은 $\mathcal{D}$의 원소가 되어야 한다. 곡선족의 원소가 모든 곡선 위의 점이라면 포락선은 $\mathcal{D}$의 부분집합이 된다. 집합족을 파고 들면 정말 머리가 복잡해지니 이 정도 선에서 멈춰야겠다. [본문으로]