2014년 1월 27일에 작성한 텀블러 포스트이다.

Cut-The-Knot에서 처음 본 정리이다. Wolfram MathWorld에서는 Pivot 정리를 확장한 결과가 미켈(Miquel)의 정리라고 말하고 있다. 궁금해서 영문 위키의 미켈의 정리를 찾아봤지만, Pivot 정리의 내용에 대한 설명만 있어서 아쉬웠다.

Cut-The-Knot에서는 Pivot 정리를 증명할 때 '역'을 이용하는데 그에 비해 아래의 증명이 더욱 간단한 것 같다. 증명은 영문 위키의 미켈(Miquel)의 정리에 나온 Pivot 정리의 증명과 같은 방법이다.

'역'의 명제는 영문 위키의 Pivot 정리를 옮겼고, 증명은 Cut-The-Knot에 있는 증명을 편집하여 옮겼다.

Pivot 정리

주어진 삼각형의 각 변에서 각각 한 점이 있다. 한 꼭짓점 그리고 그 꼭짓점에 인접하는 두 변 위의 점을 지나는 원은 유일하다. 모든 꼭짓점에서 이러한 원을 고려하면 총 세 개의 원이 있다. 그러면, 세 원은 한 점에서 만난다.

증명

△BDF의 외접원과 △CDE의 외접원의 교점을 O라 하자. 그러면 사변형 BDOF와 CDOE는 원에 내접하는 사변형이므로 다음이 성립한다.

  • ∠B + ∠DOF = 180°
  • ∠C + ∠DOE = 180°

∠EOF + ∠FOD + ∠DOE = 2×180° 는 자명하고 따라서,

∠EOF + ∠A
= 2×180° - (∠DOF + ∠DOE) + ∠A
= 2×180° + ∠B + ∠C - 2×180° + ∠A
= ∠A + ∠B + ∠C = 180°

즉, 사변형 AEOF는 원에 내접하고, 따라서 △AEF의 외접원은 점 O를 지난다. ∎

Pivot 정리의 역

한 점을 공유하는 세 원이 있다. 그러면 꼭짓점이 각각의 원 위에 있고, 변은 원의 교점을 지나는 삼각형이 무한히 많이 존재한다.[각주:1]

증명

  1. 원 O1에서 임의의 점 A를 택하자.
  2. A=F 이면, A에서 O1에 대한 접선 tA을 그리자.
    A≠F 이면, 직선 AF를 그리자.
  3. 그려진 직선을 TA라 하고, 직선 TA와 원 O2의 교점을 점 B라고 하자.

1단계에서 원 O2의 B에서 시작하고, F를 D로 바꿔서, TB와 O3의 교점을 C라고 하자. 다시 1단계에서 원 O3의 C에서 시작하고, F를 E로 바꿔서, 마지막으로 직선 TC을 그리자. 이제 직선 TC가 직선 AB와 점 A에서 만남을 보이자.

A′를 TC와 AB의 교점이라 하고, △A′BC를 생각하자. 이 삼각형에서 ∠B와 ∠C는 A에 의존하지 않는다. ∠B는 호 DF 또는 호 DOF에 대응하는 원주각이고 ∠C는 호 DE 또는 호 DOE에 대응하는 원주각이기 때문이다. 따라서 ∠B + ∠C 는 상수이고, 모든 삼각형의 내각의 합은 상수이므로 ∠A′도 상수이다.

이제 A의 변화에 따른 A′의 자취가 두 점 E, F를 지나는 원의 일부가 됨을 밝히자. 그 원이 O1과 동일함을 밝히기 위해서, 각을 계산하자.

  • ∠DOF + ∠B = 180°
  • ∠DOE + ∠C = 180°
  • ∠EOF + ∠A = 180°

물론, ∠DOF + DOE + ∠EOF = 2×180° 이 성립한다. 따라서, ∠A는 다음과 같다.

∠A = 180° - ∠EOF
= 180° + ∠DOF + DOE - 2×180°
= 180° + (180° - ∠B) + (180° - ∠C) - 2×180°
= 180° - (∠B + ∠C)

그리고 △A′BC에 주목하면, ∠A′ = 180° - (∠B + ∠C) 이다. A와 A′는 동일한 직선 TA 위에 있으므로, A=A′ 이다. ∎

참조 목록

  1. 서로 다른 위치에 있는 두 삼각형은 다르게 생각하기 때문이다. 증명을 보면 알겠지만, 만들어지는 모든 삼각형은 서로 닮음이다. [본문으로]

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