원뿔곡선의 판별식 (Discriminant of a Conic Section)

2024. 10. 7. 03:14

2014년 2월 13일에 작성한 텀블러 포스트이다.

방정식 S(x, y) = Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 에 대한 해집합 {(x, y)}의 그래프는 무엇일까?

우선, A=B=C=0 이면, 해집합의 그래프는 다음 중 하나이다.

D≠0 ∨ E≠0 ⇒ 직선
D=E=0 ∧ F=0 ⇒ 평면
D=E=0 ∧ F≠0 ⇒ 공집합

이제 A=B=C=0 이 아니라고 가정하자. 즉, A, B, C 중에서 적어도 하나는 0이 아니라고 하자.

이때, x, y에 관한 이차방정식 S(x, y)의 해집합의 그래프를 원뿔곡선(Conic Section)이라 한다. 특히, 타원, 쌍곡선, 포물선을 비퇴화(non-degenerate) 원뿔곡선이라 하고 그 외의 경우를 퇴화(degenerate) 원뿔곡선이라 한다. 또한, Ax²+Bxy+Cy²을 동반 이차형식(Associated Quadratic Form)이라 한다.^[각주:1]

A, B, C 중에서 적어도 하나는 0이 아니므로, a=b=0 또는 d=e=0 이 될 수 없다. 따라서, 해집합은 두 직선 ax+by+c=0, dx+ey+f=0 의 합집합이다. 사실 여기서 중요한 것은 S(x, y)의 인수분해의 유일성이다. 만약 S(x, y)의 인수분해가 유일하지 않다면, 해집합은 하나로 결정되지 않는다. 그런데, 실수는 유일 인수분해 정역(Unique Factorization Domain, 이하 UFD)이므로 다항식 환 ℝ[x, y]는 UFD이다.^[각주:2] 따라서, S(x, y)의 인수분해는 유일하다.

이제 S(x, y)가 실수 위에서 기약이라고 가정하자. 즉, S(x, y)가 실수 위의 다항식 환(Ring) ℝ[x, y]의 기약 다항식(Irreducible polynomial)이라 하자.

A, B, C 중에서 적어도 하나는 0이 아니므로, 다음과 같은 7가지 경우를 고려할 수 있다.

	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦
A	X	X	X	O	X	O	O
B	X	X	O	X	O	X	O
C	X	O	X	X	O	O	X

O는 0임을 뜻하고, X는 0이 아님을 뜻한다.

혼합항 xy가 없는 경우: ③, ⑤, ⑦

③, ⑤, ⑦의 경우에 B=0 이므로, 혼합항(cross-product term) xy가 없다.

경우 ③: A≠0, B=0, C≠0

S(x, y) = Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 은 다음과 같이 표현된다.

\[A \left( x + \frac{D}{2A} \right) ^2 + C \left( y + \frac{E}{2C} \right) ^2 = \left( \frac{D}{2A} \right)^2 + \left( \frac{E}{2C} \right)^2 - F\]

따라서, 방정식 S=0 의 해집합은 경우에 따라 다음과 같은 그래프를 갖는다. 단, R는 윗식의 우변을 의미한다.

R=0 ⇒ 한 점^[각주:3] (-D/(2A), -E/(2C))
R/A<0 ∧ R/C<0 ⇒ 공집합
R/A>0 ∧ R/C>0 ⇒ 타원
AC<0 ⇒ 쌍곡선

특히, 마지막 경우에 R≠0을 가정할 필요가 없다. 왜냐하면 AC<0 이면 S가 기약이므로 R≠0 이기 때문이다.

경우 ⑤: A≠0, B=0, C=0

S(x, y) = Ax² + Dx + Ey + F = 0 의 해집합의 그래프는 경우에 따라 다음과 같다.

E=0 ⇒ 공집합 (∵ S는 기약)
E≠0 ⇒ 포물선

경우 ⑦: A=0, B=0, C≠0

S(x, y) = Cy² + Dx + Ey + F = 0 의 해집합의 그래프는 경우에 따라 다음과 같다.

D=0 ⇒ 공집합 (∵ S는 기약)
D≠0 ⇒ 포물선

혼합항 xy가 있는 경우: ①, ②, ④, ⑥

세 경우 ②, ④, ⑥에 대하여 결론부터 말하면, 세 경우의 해집합의 그래프는 모두 다항함수가 아닌 유리함수의 그래프이다. 이것이 쌍곡선임을 아래에서 밝힐 것이다.

경우 ②: A≠0, B≠0, C=0

S(x, y) = Ax² + Bxy + Dx + Ey + F = 0 은 다음과 같이 표현된다.
\[y = - \frac{Ax^2 + Dx + F}{Bx + E}\]
S는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다.

경우 ④: A=0, B≠0, C≠0

S(x, y) = Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 은 다음과 같이 표현된다.
\[x = - \frac{Cy^2 + Ey + F}{By + D}\]
S는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다. 직선 y=x에 대하여 대칭이동 시키면 다음과 같다.
\[y = - \frac{Cx^2 + Ex + F}{Bx + D}\]

경우 ⑥: A=0, B≠0, C=0

S(x, y) = Bxy + Dx + Ey + F = 0 은 다음과 같이 표현된다.
\[y = - \frac{Dx + F}{Bx + E}\]
S는 기약이므로 우변은 약분되지 않는다.

경우 ①: A≠0, B≠0, C≠0

이때, S(x, y) = Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 은 ②, ④, ⑥과 같이 y를 x에 관하여 또는 x를 y에 관하여 간단히 표현할 수없다. 여기서 새로운 기술(technique)의 필요가 발생한다.

혼합항 소거하기^[각주:4]: B≠0

우선 S(x, y)를 행렬을 이용하여 나타내보자.

\(\mathbf{x} := \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\), \(Q := \begin{bmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{bmatrix}\), \(K := \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix}\)라 하면, S(x, y)=0 을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[S(x, y) = \mathbf{x}^{T} Q \mathbf{x} + K \mathbf{x} + F = 0 \tag{1} \label{1}\]
그리고나서 다음의 세 단계를 거쳐 혼합항을 소거할 수 있다. 사실 세 단계의 논의는 주축정리(Principal Axis Theorem)의 증명과 다름없다.

1단계: 행렬 Q를 직교대각화하는 행렬 P 구하기

Qx = λx 즉, (Q-λI)x=0 을 만족하는 영이 아닌 x가 존재하기 위한 필요충분 조건은 det(Q-λI)=0 이다. 즉, 다음이 성립한다.
\[\lambda^2 - (A + C)\lambda +\frac{4AC - B^2}{4} = 0 \tag{2} \label{2}\]
따라서, 두 고윳값은 다음과 같다.
\[\lambda_1 = \frac{A + C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2}}{2}\]
\[\lambda_2 = \frac{A + C - \sqrt{(A - C)^2 + B^2}}{2}\]
특히, λ₁과 λ₂는 동시에 0이 될 수 없다. 만약 λ₁=λ₂=0 이면, (A-C)²+B²=0 이다. 그러나 B≠0 이므로 (A-C)²+B²>0 이다.

\(r^2 := \left( A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \right)^2 + B^2\)이라 하면,

λ₁의 단위고유벡터는 다음과 같고,
\[\frac{1}{r} \begin{bmatrix} A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \\ B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{11} \\ p_{21} \end{bmatrix}\]
λ₂의 단위고유벡터는 다음과 같다.
\[\frac{1}{r} \begin{bmatrix} -B \\ A - C + \sqrt{(A - C)^2 + B^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{12} \\ p_{22} \end{bmatrix}\]
그러므로 P는 다음과 같다.

\[P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}\]

2단계: 필요에 따라 P의 열을 교환하여 detP=1 이 되게 한다

1단계에서 이미 detP = 1 이 되도록 했다. 한편, detP=1 은 직교좌표변환 x=Px′ 즉, 다음을 만족하는 선형변환 P가 회전변환임을 말해준다.

\[\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\]

3단계: x=Px′를 식 \((\ref{1})\)에 대입하기

x′y′-평면에 있어서 S(x, y)=0 에 대응하는 방정식을 얻기 위해 x=Px′ 를 식 \((\ref{1})\)에 대입하면, (Px′)^TQ(Px′) + K(Px′) + F = 0 즉, (x′)^T(P^TQP)x′ + (KP)x′ + F = 0 이 된다. P는 Q를 직교대각화하므로 다음이 성립한다.
\[P^T Q P = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}\]
따라서 (x′)^T(P^TQP)x′ + (KP)x′ + F = 0 을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[\begin{bmatrix} x' & y' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} + F = 0\]

즉, S′(x′, y′):= λ₁x′² + λ₂y′² + D′x′ + E′y′ + F = 0 이다. (단, D′= Dp₁₁ + Ep₂₁이고, E′= Dp₁₂ + Ep₂₂이다.) 이 방정식은 혼합항을 갖지 않는다.

다시 말해, 혼합항이 있는 방정식 S=0의 해집합의 그래프는 혼합항이 소거된 방정식 S′=0의 그래프를 회전변환 P에 의해 회전하여 얻을 수 있다.

특히, P는 직교행렬(Orthogonal matrix)이므로 x=Px′ ⇔ P^Tx=x′ 이다. 따라서, 다음이 성립한다.

S′(x′, y′) = S′(p₁₁x +p₂₁y, p₁₂x+p₂₂y) = S(x, y)

그러므로 만약 S′(x′, y′) = (a′x′+b′y′+c′)(d′x′+e′y′+f′) 와 같이 인수분해되면, S도 S(x, y) = {a′(p₁₁x +p₂₁y)+b′(p₁₂x+p₂₂y)+c′}{d′(p₁₁x +p₂₁y)+e′(p₁₂x+p₂₂y)+f′} 와 같이 인수분해된다. 그러므로 S′(x′, y′)도 기약이다.

따라서, 방정식 S′=0의 해집합의 그래프는 경우 ③, ⑤, ⑦에 의하여 알 수 있다.

특히, 세 경우 ②, ④, ⑥에 대하여 B≠0, AC=0 이므로 식 \((\ref{2})\)에서 근과 계수의 관계에 의하여 λ₁λ₂<0 이다. 그러므로 경우 ③에 의하여 세 경우 ②, ④, ⑥에서 방정식 S=0 의 해집합의 그래프는 쌍곡선이다.