2014년 2월 19일에 작성한 텀블러 포스트이다.
일어 위키에 있는 "加比の理"의 내용을 바탕으로 아래의 정리를 얻을 수 있었다.
c·d > 0 이고, \(\frac{a}{c} \leq \frac{b}{d}\) 인 네 실수 a, b, c, d에 대하여 다음이 성립한다.
\[\frac{a}{c} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{b}{d} \tag{1} \label{1}\]
단, 등호는 \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) 일 때만 성립한다.
등호가 성립할 때 식 \((\ref{1})\)을 '가비의 리'1(加比の理)라고 한다. 증명은 간단하다.
'가비의 리'의 증명
cd > 0 이므로 a/c ≤ b/d ⇔ ad ≤ bc 이다. 따라서, 다음이 성립한다.
\[\begin{aligned}
{a+b \over c+d}
&={ad + bd \over (c+d)d} \\
&\leq {bc + bd \over (c+d)d}={b(c+d) \over (c+d)d}={b \over d}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
{a+b \over c+d}
&={ac + bc \over (c+d)c} \\
&\geq {ac + ad \over (c+d)c}={a(c+d) \over (c+d)c}={a \over c}
\end{aligned}\]
그리고 위의 두 식들은 모두 a/c = b/d 일 때만 성립한다. ∎
그런데 '가비의 리'가 무엇을 의미할까? '가비의 리'를 시각적으로 표현하면 그 의미를 알 수 있다. 특별히 아래의 두 가지 시각화는 네 실수 a, b, c, d가 양의 실수인 경우에 '가비의 리'의 증명이다.
'가비의 리'의 시각화 ①
구글에서 '加比の理'를 검색하다가 발견한 웹페이지의 그림을 다시 그렸다.
임의의 삼각형에서 밑변에 평행한 선분으로 삼각형을 자르고, 그 선분에 의해 잘린 네 선분들을 위의 그림처럼 a, b, c, d 라고 하자.
작은 삼각형과 큰 삼각형은 서로 닮음이므로, a+b/a = c+d/c 이다. 특히, a+b/a = c+d/c ⇔ a/c = b/d 이다. 또한, a+b/a = c+d/c ⇔ a+b/c+d = a/c 이다. 그러므로 a+b/c+d = a/c = b/d 이다.
'가비의 리'의 시각화 ②
시각화 ①과 마찬가지로 구글에서 '加比の理'를 검색하다가 발견한 웹페이지의 그림을 다시 그렸다.
임의의 △ABC의 내부의 한 점 P가 있을 때, 직선 AP와 선분 BC의 교점을 Q라 하자. 간결한 설명을 위해 다음과 같이 기호를 정하자.
- a := △ABQ의 넓이
- b := △PBQ의 넓이
- c := △AQC의 넓이
- d := △PQC의 넓이
- x := 선분 BQ의 길이
- y := 선분 QC의 길이
우선 △ABQ와 △AQC의 높이가 같으므로, a/x = c/y 이다. 마찬가지로 △PBQ와 △PQC의 높이가 같으므로, b/x = d/y 이다. 그러므로 a/c = x/y = b/d 즉, a/c = b/d 이다. 특히, a/x - b/x = c/y - d/y ⇔ a-b/x = c-d/y 이다.
즉, 다음이 성립한다.
\[\frac{a-b}{c-d} = \frac{x}{y} \tag{2} \label{2}\]
그러므로 a-b/c-d = a/c = b/d 이다.
참고로 위와 같은 원리 즉, 삼각형의 넓이의 비를 이용하여 "체바(Ceva)의 정리"를 증명할 수 있다. 실제 증명은 영문 위키의 "Ceva's theorem"에서 볼 수 있다.
끝으로 흥미로운 식 \((\ref{2})\)를 관찰하자. 식 \((\ref{2})\)를 삼각형의 선분과 넓이를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\frac{\triangle ABP}{\triangle APC} = \frac{BQ}{QC} \tag{3} \label{3}\]
사실 '시각화 ②'의 원본 그림이 있는 일어 웹페이지에서는 식 \((\ref{3})\)을 주제로 이야기한다. 기하적으로 매우 흥미로운 식임은 분명하다.
한편, '박부성님의 블로그'와 네이버캐스트 '수학 산책'의 "삼각형 선분의 길이의 비"에서는 복잡한 '삼각형 선분의 길이의 비'를 구하는 문제를 풀 때, 지레의 원리를 이용하여 쉽게 해결하는 방법을 소개하고 있다. 그런데 지레의 원리 대신에 식 \((\ref{3})\)을 여러 번 적용하는 것도 역시 좋은 해법이 될 수 있다.