2014년 4월 3일에 작성한 텀블러 포스트이다.

정수론(Number theory)에서 유명한 정리인 '중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)'를 추상대수학(Abstract algebra)의 대수적 구조인 군(Group)과 환(Ring)으로 일반화 할 수 있다. 아래에서 그 공통 성질이 눈에 띄도록 서술했다.

  1. 중국인의 나머지 정리
    양의 정수 m 과 n 에 대하여 gcd(m, n) = 1 이면, 연립 선형합동식 x ≡ a (mod m), x ≡ b (mod n) 은 법 mn 에 대하여 유일한 공통해를 갖는다.
  2. 환으로의 추상화
    곱셈항등원 1≠0[각주:1]을 가진 환 R 의 아이디얼(Ideal) I 와 J 에 대하여 R = I + J 이면, x + I = a + I 와 x + J = b + J 를 만족하는 R 의 덧셈 부분군(Subgroup) I ∩ J 에 대한 유일한 덧셈 잉여류[각주:2](Coset) x + I ∩ J 가 존재한다. 특히, R/(I ∩ J) ≅ R/I × R/J 이다.
  3. 군으로의 추상화
    군 G 의 정규부분군(Normal subgroup) M 과 N 에 대하여 G = MN 이면, xM = aM 과 xN = bN 을 만족하는 G 의 부분군 M ∩ N 에 대한 유일한 잉여류[각주:3] x(M ∩ N) 이 존재한다. 특히, G/(M ∩ N) ≅ G/M × G/N 이다.

이제 위의 명제를 증명하자. 특히, 세 증명의 공통점에 주목하자.

  1. gcd(m, n)[각주:4] = 1 이므로 1 = ms + nt 인 정수 s 와 t 가 존재한다.
    x ≡ a(nt) + b(ms) (mod mn) 을 만족하는 정수 x 는 분명히 공통해가 된다.
    만약 어떤 정수 y 도 공통해가 된다면
    y ≡ a (mod m), y ≡ b (mod n) 이므로
    x ≡ y (mod m), x ≡ y (mod n) 이다.
    따라서 m|(x − y), n|(x − y) 이다.
    그러므로 gcd(m, n) = 1 에 의하여 mn|(x − y) 즉, x ≡ y (mod mn) 이다.
  2. 1 ∈ R = I + J 이므로 1 = i + j 인 i ∈ I 와 j ∈ J 가 존재한다.
    x = aj + bi 라 하면,
    x − a = aj + bi − a = a(1 − i) + bi − a = (b − a)i ∈ I 이고
    x − b = aj + bi − b = aj + b(1 − i) − b = (a − b)j ∈ J 이므로
    x + I = a + I 이고 x + J = b + J 이다.
    만약 y + I = a + I 이고 y + J = b + J 이면,
    x + I = y + I 이고 x + J = y + J 이므로
    x − y ∈ I 이고 x − y ∈ J 이다.
    즉, x − y ∈ I ∩ J 이므로 x + I ∩ J = y + I ∩ J 이다.
    그리고 ∀a ∈ R 에 대하여 φ(a) = (a + I, a + J) 로 정의된 함수 φ : R → R/I × R/J 는 잘 정의된(Well-defined) 준동형사상(Homomorphism)이고 φ 의 핵(Kernel)[각주:5] ker φ = I ∩ J 이다. 이에 대한 증명은 생략한다. 그리고 위의 논의에 의해 φ 는 전사(Surjective)이므로 환에 대한 제1동형정리(First isomorphism theorem)에 의해 R/(I ∩ J) ≅ R/I × R/J 이다.
  3. a, b ∈ G = MN 이므로 a = m1n1, b = m2n2 인 m1, m2 ∈ M 와 n1, n2 ∈ N 가 존재한다.
    x = n1m2 라 하면,[각주:6]
    a−1x = (m1n1)−1(n1m2) = (n1−1m1−1n1)m2 ∈ M 이고
    b−1x = (m2n2)−1(n1m2) = n2−1(m2−1n1m2) ∈ N 이므로
    xM = aM, xN = bN 이다.
    만약 yM = aM 이고 yN = bN 이면, xM = yM 과 xN = yN 이므로
    x−1y ∈ M 이고 x−1y ∈ N 이다.
    즉, x−1y ∈ M ∩ N 이므로 x(M ∩ N) = y(M ∩ N) 이다.
    그리고 ∀a ∈ G 에 대하여 φ(a) = (aM, aN) 로 정의된 사상 φ : G → G/M × G/N 는 잘 정의된 준동형사상이고 ker φ = M ∩ N 이다. 이에 대한 증명은 생략한다. 그리고 위의 논의에 의해 φ 는 전사이므로 군에 대한 제1동형정리(First isomorphism theorem)에 의해 G/(M ∩ N) ≅ G/M × G/N 이다.
  1. R가 영환(Zero ring) 즉, R = {0} 이 아니라는 의미이다. R가 영환이면 0은 곱셈항등원이 된다. 혹시 "R가"라고 하는 것이 이상하다고 느낄 수 있지만 사실 로마자 'R' 를 '아르'라고 표기한다. [본문으로]
  2. 환은 덧셈에 대하여 가환군이므로 좌잉여류와 우잉여류는 같기 때문에 좌우 구분없이 단순히 잉여류라고 할 수 있다. [본문으로]
  3. 정규부분군은 좌잉여류와 우잉여류가 같은 부분군을 정의한 것이다. 그리고 두 정규부분군의 공통집합도 정규부분군이므로 좌우 구분없이 단순히 잉여류라고 할 수 있다. [본문으로]
  4. 양의 정수 m 과 n 의 최대공약수(Greatest common divisor)라는 뜻이다. [본문으로]
  5. 준동형사상 φ 의 핵은 φ가 환 준동형사상인 경우에는 공역 환의 덧셈 항등원의 역상으로 정의되고, φ가 군 준동형사상인 경우에는 공역 군의 항등원의 역상으로 정의된다. 그리고 ker φ 로 표기한다. [본문으로]
  6. 환과는 다르게 '중국인의 나머지 정리'의 공통해와의 비슷한 점이 안보인다. 그러나, '중국인의 나머지 정리'에서 1 = ms + nt 이므로 a = a(ms) + a(nt) 와 b = b(ms) + b(nt) 가 성립함에 주목하면 공통해 a(nt) + b(ms) 를 통해서 군에서의 해를 유추할 수 있다. [본문으로]

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