2017년 9월 25일에 작성한 텀블러 포스트이다.
정형적 방법
삼각형에서 두 개의 각의 이등분선을 작도하여, 내심을 찾은 후 내심에서 한 변에 수선의 발을 내리고, 내심을 중심으로 하고 수선의 발을 지나는 원을 작도한다.
비정형적 방법
도입
iPhone Appstore에 Euclidea라는 작도 게임 앱이 출시 된 것이 정확히 언제인지는 모르겠지만, 2014년의 가을 정도로 기억하고 있다. 그 전에는 Euclid라는 작도 게임 앱이 있었지만 미션의 수는 물론이고 앱의 완성도와 게임성에서 Euclidea는 작도 게임의 완전체였다. 이 앱을 만든 HORIS INTERNATIONAL LIMITED은 그 후로도 평면작도 게임 Pythagorea와 Pythagorea 60° 그리고 입체작도 게임 XSection 또한, 숫자퍼즐 Tchisla: Number Puzzle까지 다양한 수학 게임을 만들어 내고 있다. 각각의 게임이 모두 참신하고, 수학적이면서 게임성이 뛰어나다. 여기서는 Euclidea 그 중에서도 내접원을 작도해야하는 미션에 주목한다. 아래는 차례대로 구버전과 신버전이다.
차이점은 업데이트된 다양한 기능이 있다는 것이지만, 그 중에서도 독창적인 것은 Explore 모드이다. 탐구모드에서는 작도해야 할 대상을 미리 보면서 작도할 수 있다. 이는 파푸스의 분석법이 잘 녹아들어 있다고 볼 수 있고, 실제로도 미션을 해결하는 데 도움이 된다.
전개
Euclidea에는 독특한 규칙이 있는데, 자와 컴퍼스를 최소한으로 사용해야 한다는 것이다. 이것은 작도 방법에 지대한 영향을 끼치는데, 대체로 기존의 정형적인 작도방법이 통하지 않기 때문이다. 삼각형의 외접원의 경우에는 정형적인 방법이 곧 미션을 해결하는 방법이었다. 그러나 내접원의 경우 그렇지 않았다. 다음은 최종 미션성공까지의 도전기록이다.
여기서 첫 번째 도전 옆에 4L은 각의 이등분선 2회, 수선 1회, 원 1회 총 4회로 작도했다는 의미이다. 아래와 같다.
12E는 이를 실제로 눈금 없는 자와 컴퍼스로만 작도하는 데에는 12회가 걸린다는 의미이다. 무려 6개월 정도는 전혀 발전이 없었다. 물론, 이 게임만 하고 살지는 않았지만 그렇다해도 대단히 어려움에는 틀림없다. 첫 번째 발전이 있었던 네 번째 도전은 다음과 같다.
여기서는 각의 이등분선을 작도하는데 필요한 컴퍼스를 1회 줄였다. 그리고 한 달 후에 거친 아이디어가 떠올랐다.
여러번의 시도1 끝에 지쳤는지, 그저 그 동안 하지 않은 방법을 찾고자 함이었는지 모르겠다. 다른 미션에서 변화할 수 있는 임의의 점에서 시작하여 작도한 후 손도구를 이용하여 변화 속에서 고정되는 것 또는 일정한 패턴을 그리는 것을 찾는 것은 큰 힌트가 되었다. 내접원의 작도에서는 정형화된 작도방법 즉, 각의 이등분선에만 너무 집착했었다. 여기서 벗어나 도전 4의 시작 즉, 한 꼭짓점을 중심으로 하고 다른 꼭짓점을 지나는 원을 그리는 대신에 변 위에 임의의 점을 지나는 원을 그렸다. 그리고나선 비슷한 패턴으로 두 개의 원을 더 그렸고, 손도구를 이용하여 빨간 점을 움직였다. 놀라운 발견을 했다. 밑변의 두 점이 너무나 일정한 거리를 유지하는 것 아니겠는가! 당장 수직이등분선을 작도하고, 각의 이등분선을 작도한 후 외접원을 얻을 수 있었다. 그러나 이러한 방법은 엄밀한 수학적 증명이 필요하다. 결국 아직 미션은 게임에서도 수학에서도 끝나지 않았다.
며칠 후에 위와 같이 임의의 점을 제거하는 아이디어로 게임상의 미션은 해결할 수 있었다. 그러나 여전히 수학적으로 미션은 해결되지 않았다.
결론
새로운 일을 시작한 이래 잉여시간을 누릴 수 없었다. 이제는 좀 적응이 되어 바쁜 와중에도 틈을 내서 여유를 만들고 있다. 오늘은 점심시간에 다시 손도구를 이용해 변화하는 원을 무심히 바라보았다. 등속운동이었다. 세 원의 반지름은 연결되어 작도되었기 때문에 반지름의 길이가 같은 속력으로 움직인다. 다음을 보자.
위의 그림에는 삼각형과 그 내접원 그리고 각 꼭짓점을 중심으로하고, 인접한 변의 내접원과의 교점을 지나는 원이 있다. 이 때, 두꺼운 점은 떨어지지 않고, 밑변의 점을 떨어질 수 있다고 보자. 빨간 점을 일정한 속력으로 아래로 당긴다면, 밑변의 두 원은 같은 속력으로 멀어진다. 따라서, 다음과 같이 된다.
밑변의 두 원은 같은 속력으로 멀어지면서 변과 함께 두 교점을 만든다. 이때, 두 교점의 수직이등분선은 내접원의 중심을 우아하게 지난다.
- 도전기록에는 같은 방법은 최근 것만 기록되므로 같은 시도를 100번을 한다 해도 가장 최근의 1번만 기록된다. [본문으로]