볼록 다각형의 방정식 with Desmos

2025. 2. 26. 01:26

도형의 방정식이라 하면 직선의 방정식 \(ax+by+c=0\)과 원의 방정식 \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\)이 잘 알려져 있다.
방정식으로 나타낼 수 있는 다른 도형은 없을까?
- 방정식 \(\left|x\right|+ \left|y\right|=1\)의 그래프는 정사각형이다.^[각주:1]
- 또한 이 식에서 x 대신에 x+y를 대입하고, y 대신에 x-y를 대입하면 회전 및 축소된 정사각형을 얻을 수도 있다.
- 더 나아가 방정식 \(\left|ax+by\right|+ \left|cx+dy\right|=1\)의 그래프는 평행사변형이다.
그런데 삼각형이나 오각형을 어떻게 나타낼 수 있을지 고민해봤지만, 마땅한 방법이 떠오르질 않았다.
궁금하던 차에 구글링을 했더니 볼록 다각형의 방정식을 설명한 글을 찾았다.
- 비법은 삼각형의 넓이식을 활용하는 것인데, 놀라운 통찰이다.
- 그런데 위에서 정사각형의 방정식 \(\left|x\right|+ \left|y\right|=1\)은 간단하지만, 이 방법으로는 \(\left|\frac{x-y+1}{2}\right|+\left|\frac{x+y+1}{2}\right|+\left|\frac{-x+y+1}{2}\right|+\left|\frac{-x-y+1}{2}\right|=2\)와 같이 더 복잡한 방정식으로 표현된다.

xandy