8번
두 상수 \(a, b\)에 대하여 함수
\( f(x)=\begin{cases} x & (x<b-2 \text{ 또는 } x>b+2) \\ x^2-5x+a & (b-2 \le x \le b+2) \end{cases} \)
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(a+b\)의 값은? [3점]
① 6 ② 8 ③ 10 ④ 12 ⑤ 14
- 연속이라고 \(x=b \pm 2\)에서 함숫값과 극한값이 같다는 기계적인 생각만 할텐가?
더보기- \(x= b \pm 2\)는 함수 \(x\)와 함수 \(x^2-5x+a\)의 두 교점의 \(x\)좌표이고, 두 교점의 \(x\)좌표 사이의 거리가 4이다.
9번
다음 조건을 만족시키는 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 \(4\pi\)일
때, 삼각형 ABC의 넓이는? [4점]
(가) \(\sin A = \sin C\)
(나) \(\sin A \sin B = \cos C \cos \left(\frac{\pi}{2}-B\right)\)
① \(2\sqrt{2}\) ② \(\sqrt{10}\) ③ \(2\sqrt{3}\) ④ \(\sqrt{14}\) ⑤ 4
- \(\sin A = \sin C\) 이면 \(A=C\) 이다.
더보기- 삼각형의 세 내각의 합은 \(\pi\)이다. · · · ⓐ
- 따라서, \(C\)와 \(A\)는 \(0\)과 \(pi\) 사이의 값이다.
- 그러면 \(C\)는 \(A\) 또는 \(\pi-A\)이고,
- \(C=\pi-A\)이면 ⓐ에 모순되므로 \(C=A\)이다.
11번
최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬
때, \(f(2)\)의 값은? [4점]
(가) 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(\lim_{x \to t} \frac{f(x)-f(-x)}{x-t}\)의 값이 존재한다.
(나) 곡선 \(y=f(x)\) 위A 점 \((1, 7)\)에서의 접선의 \(y\)절편이 \(-1\)이다.
① 28 ② 30 ③ 32 ④ 34 ⑤ 36
- 조건 (가)에 의해 사차함수 \(f(x)\)가 우함수임을 파악했을 것이다.
- 따라서 \(f(x)\)는 홀수 차수의 항을 갖지 않는다.
더보기- \(f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\)라 하자.
- \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=f(x)\)\(=f(-x)=x^4-ax^3+bx^2-cx+d\)
- 따라서 \(2ax^3+2cx=0\)이다. · · · ⓑ
- 그리고 \(f(x)\)의 정의역은 모든 실수이므로 ⓑ는 모든 실수에 대하여 성립하는 항등식이다.
- 그러므로 \(a=c=0\)이다.
12번
\(a_1 = -9\)이고 공차가 \(d\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항
까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_p=S_q\)를 만족시키는 서로 다른 두 자
연수 \(p, q\) (\(p<q\))의 모든 순서쌍 \((p, q)\)의 개수가 4가 되도록
하는 모든 실수 \(d\)의 값의 합은? [4점]
① \(\frac{15}{4}\) ② 4 ③ \(\frac{17}{4}\) ④ \(\frac{9}{2}\) ⑤ \(\frac{19}{4}\)
- 등차수열은 정의역이 자연수인 1차 함수이다.
- 그리고 놓치기 쉽지만, 등차수열의 합은 정의역이 자연수인 2차 함수이다.
15번
최고차항의 계수가 1이고 \(f(-1)=0\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 최고
차항의 계수가 1이고 \(g(\alpha)=0\) (\(\alpha<-1\))인 이차함수 \(g(x)\)가
다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=\alpha\)에서만 미분가능하지 않다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle{\int_\alpha^x f(t)g(t)dt \ge 0}\)이다.
(다) 다항함수 \(h(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
\((x+1)h(x)=f(x)g(x)\)
일 때, 함수 \(h(x)\)의 극솟값은 \(-27\)이다.
방정식 \(h'(x)=0\)을 만족시키는 서로 다른 모든 실수 \(x\)의 값의
합은? [4점]
① \(-9\) ② \(-8\) ③ \(-7\) ④ \(-6\) ⑤ \(-5\)
- 조건 (가)는 지금까지 4회의 실전모의고사에서 매우 자주 등장하는 조건이다.
- 만약 \(f(\alpha) \ne 0\) 이면 \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)를 포함하는 어떤 열린구간에서도 \(f(x) \ne 0\) 이다.
- 따라서 그 \(x=\alpha\)를 포함하는 열린구간에서 \(|f(x)|=\pm f(x)\)이므로
- 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=\alpha\)에서 미분가능하게 되어 (가)에 모순된다.
- 한편, \(f(-1)=0\)이고 \(\alpha \ne -1\) 이므로 함수 \(|f(x)|\)는 \(x=1\)에서 미분가능해야 한다.
- 그러므로 접선이 \(x\)축이 되어야만 한다. 즉, \(f'(-1)=0\) 이다.
- 조건 (나)에서 정적분의 위끝인 \(x\)가
- \(\alpha\) 보다 크면, \(f(x)g(x) \ge 0\) 이고
- \(\alpha\) 보다 작으면, \(f(x)g(x) \le 0\) 이다.
20번
양수 \(a\)와 \(0 \le t \le 1\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식
\( \left(\sin \cfrac{2x}{a}-t\right)\left(\cos \cfrac{2x}{a}-t\right)=0 \)
의 실근 중에서 집합 \(\{x \mid 0 \le x \le 2a\pi\}\)에 속하는 모든 값을 작
은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n\) (\(n\)은 자
연수)라 할 때, \(\alpha_n\)이 다음 조건을 만족시킨다.
\(d \ne 3\)인 자연수 \(d\)에 대하여
\(\alpha_3-\alpha_1=d\pi, \alpha_4-\alpha_2=6\pi-d\pi\)
이다.
\(t \times (10a+d)\)의 값을 구하시오. [4점]
- 조건에서 주어진 두식을 더하면 무언가 간단히 될 것처럼 보인다.
더보기- \((\alpha_3-\alpha_1)+(\alpha_4-\alpha_2)=6\pi\)이고,
- \(\alpha_3-\alpha_1 \ne 3\pi\)이라고 했다.
- 다시 말해, \(\alpha_3-\alpha_1\)과 \(\alpha_4-\alpha_2\)의 합은 \(6\pi\)이지만 같지 않다.
22번
수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\( a_{n+1}=\begin{cases} a_n+3 & (|a_n|<8) \\ -\cfrac{1}{3}a_n & (|a_n|\ge8) \end{cases} \)
을 만족시킨다. 모든 자연수 \(k\)에 대하여
\( a_{3+5k}=a_3 \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^k \)
이고, 부등식 \(|a_m|\ge8\)을 만족시키는 100 이하의 자연수 \(m\)의
개수가 20 이상이 되도록 하는 모든 정수 \(a_1\)의 값의 합을 구하시
오. [4점]
- 다음은 수능완성에서 제공하는 22번 문제의 풀이의 첫 부분이다.
- 모든 자연수 \(k\)에 대하여
\(a_{3+5k}=a_3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^k\), 즉 \(a_{5k+3}=a_{5k-2} \times \left(-\frac{1}{3}\right)\)
이고, \(a_{5k+3}\)은 \(a_{5k-2}\)에서 \(+3\) 또는 \(\times \left(-\frac{1}{3}\right)\)을 5회 연산하여 결정된다.
\(\times \left(-\frac{1}{3}\right)\)을 \(n\)회 (\(1 \le n \le 5\)) 연산하면
\(a_{5k+3}=a_{5k-2} \times \left(-\frac{1}{3}\right)^n+\alpha\) (\(\alpha\)는 상수)
이므로 \(\times \left(-\frac{1}{3}\right)\)을 1회만 연산해야 하고, \(+3\)을 4회 연산해야 한다.
- 모든 자연수 \(k\)에 대하여
- 풀이에서 발췌한 부분에서 정말 중요한 지점은 「모든 자연수 \(k\)」이다.
더보기- \(k=1\)이면 \(a_8=-\cfrac{1}{3}a_3\) 이다. · · · ⓒ
- \(k=2\)이면 \(a_{13}=\cfrac{1}{9}a_3\) 이므로
ⓒ에 의해 \(a_{13}=-\cfrac{1}{3}a_8\) 이다. - 풀이와 같이 \(a_{8}=a_{3} \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\alpha\) (\(\alpha\)는 상수) 라고 표현하면,
- \(a_{13}=a_{8} \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\alpha\) 도 성립해야 한다. 모든 자연수 \(k\)에 대하여 성립하기 때문이다.
- 따라서, \(\left( \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\cfrac{1}{3} \right) a_3 = -\alpha \) 이고, · · · ⓓ
\(\left( \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\cfrac{1}{3} \right) a_8 = -\alpha \) 이다. · · · ⓔ - 특히, ⓔ의 \(a_8\)에 \(-\cfrac{1}{3}a_3\)를 대입하고 그 좌변에서 ⓓ를 이용하여 \(\left( \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n+\cfrac{1}{3} \right) a_3\)을 \(-\alpha\)로 바꾸면, \(-\cfrac{1}{3}\times(-\alpha)=-\alpha\)가 되어 \(\alpha=0\) 이다.
- 따라서 \(a_{3} \times \left(-\cfrac{1}{3}\right)^n=a_{8}=-\cfrac{1}{3}a_3\)이므로 \(n=1\)이다.