10번
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\)
위의 점 \((1, 0)\)에서의 접선의 기울기가 1이고, 곡선
\(y=(x-2)f(x)\) 위의 점 \((2, 0)\)에서의 접선의 기울기가 4일
때, \(f(-1)\)의 값은? [4점]
① \(-5\) ② \(-4\) ③ \(-3\) ④ \(-2\) ⑤ \(-1\)
- \( f(x)=(x-1)(x^2+ax+b) \)라고 할 수도 있지만 다른 방법도 있다.
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- 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((1,0)\)에서의 접선 \(y=x-1\)을 \(y=f(x)\)에서 빼면 다음과 같이 표현할 수 있다.
- \( f(x)-(x-1) = (x-1)^2(x-\alpha)\)
- \(g(x)=f(x)-(x-1)\)이라 하면, \(g(1)=0\)에서 \(g'(1)=0\)이기 때문이다.
11번
최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)에 대하여
\( \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2} \)
이다. 상수 \(k\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가
\( g(x)=\begin{cases} \cfrac{x(x+1)}{f(x)} & (f(x) \ne 0) \\ k & (f(x)=0) \end{cases} \)
이고 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(f(1)\)의 값
은? [4점]
① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8
- 우선 \(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2}\) 이므로 \(f(0)=0\), \(f'(0)=2\)이 되어 \(f(x)=x(x^3+ax^2+bx+2)\)이다.
- 따라서 \(\cfrac{x(x+1)}{f(x)}=\cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2}\)이다. 그리고 함수 \(g(x)\)는 \(x=0\)에서 연속이다.
- \(f(0)=0\) 이므로 \(g(0)=k\) 이다. 이제 \(x=0\)에서 극한값과 같음을 이용하자.
- 그리고 \(k=g(0)=\displaystyle{\lim_{x \to 0} g(x)}\)\(\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \cfrac{x(x+1)}{f(x)}}\)
\(\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2}}\)\(=\cfrac{1}{2}\) - 그런데 너무나 자연스럽게 \(\displaystyle{\lim_{x \to 0} g(x)}\)\(\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \cfrac{x(x+1)}{f(x)}}\)이라고 했는데, 정말 그런가?
- \(x=0\)에서 함수 \(g(x)\)의 극한은 \(x\)가 \(0\)이 아니면서 \(0\)에 한없이 가까워져야 한다.
- 다시 말해, \(x \ne 0\)이면 \(g(x)=\cfrac{x(x+1)}{f(x)}\)인가? 아니다.
- \(g(x)=\cfrac{x(x+1)}{f(x)}\)가 되기 위해서는 \(x \ne 0\)이 필요한 것이 아니고, \(f(x) \ne 0\)이 필요하다.
- 그러면 \(x \ne 0\)이면, \(f(x) \ne 0\)이라고 할 수 있을까? 일반적으로 다항함수에서 그렇지 않다.
더보기- 다항함수의 성질로 간과하기 쉬운 것이지만 직관적으로 이해할 수 있는 중요한 성질이 있다.
- 상수함수가 아닌 다항함수의 함숫값은 계속 변화한다는 것이다.
- 상수함수가 아닌 다항함수의 그래프를 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.
- \(f(0)=0\)에 이 특징을 활용하면 다음과 같은 열린구간이 존재함을 이해할 수 있다.
- \(x=0\)에서 함수 \(f(x)\)의 함숫값이 \(0\)이므로
「\(x=0\)에서만 \(f(x)=0\)이고 \(0\)이 아닌 \(x\)에서는 \(f(x) \ne 0\)」이 되는
\(x=0\)을 포함하는 열린구간이 존재한다. - 따라서 그러한 열린구간에서는 \(x \ne 0\)이면, \(f(x) \ne 0\)이다.
- 한편, 이제 함수 \(g\)는 다음과 같다.
- \( g(x)=\begin{cases} \cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2} & (f(x) \ne 0) \\ \cfrac{1}{2} & (f(x)=0) \end{cases} \)
- 혹시 여기서 \(x=-1\)이면 분자가 \(0\)이 되니까 분모도 \(0\)이 될 것이라 생각했다면 다시 생각해보자.
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- 분모의 삼차함수는 적어도 한 근 \(\alpha\)를 갖는다.
- 삼차함수의 그래프를 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.
- 그러면 \(x=0\)일 때와 같은 방법에 의해 다음이 성립한다.
- \(\cfrac{1}{2}=g(\alpha)=\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} g(x)}\)\(\displaystyle{=\lim_{x \to \alpha} \cfrac{x+1}{x^3+ax^2+bx+2}}\)
- 따라서 양변에 등식 \(0=\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} x^3+ax^2+bx+2}\)을 각각 곱하면
- \(0=\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} x+1}=\alpha +1\)이 되어 \(\alpha = -1\)이다.