숫자
숫자(Numerical digit)는 수(Number)를 나타내는 기호다. 널리 쓰이는 인도-아라비아 숫자 각각은 무엇을 가리키는 표현인가?
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 |
| 🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎 | 🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎 | 🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎 | 🍎🍎🍎🍎🍎🍎 | 🍎🍎🍎🍎🍎 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 🍎🍎🍎🍎 | 🍎🍎🍎 | 🍎🍎 | 🍎 |
위의 그림에서 사과의 개수로 각 숫자가 가리키는 대상을 나타냈다. 그런데 아홉보다 큰 수는 어떻게 나타낼 수 있을까? 인도-아라비아 숫자는 단지 열 가지 수를 숫자로 나타낸 기호다. 하지만, 수는 헤아릴 수 없이 많다. 게다가 고대 인도인들은 당시의 다른 고대 문명에서는 상상하지 못한 큰 수를 생각했다.1 예를 들어, 1 팔리아(Palya)는 양털을 대략 10km 높이로 쌓는 데에 걸리는 시간이다. 단, 1세기마다 양털 하나씩만 놓아야 한다.
기수법
고대 인도 문명의 독창성은 수를 표현한 방법 즉, 기수법(Numeral system)에서 찾을 수 있다. 오늘날의 십진법(Decimal)은 바로 고대 인도 문명에서 수를 표현한 방법 즉, 인도-아라비아 기수법(Hindu-Arabic numeral system)에서 유래했다. 그들은 열 가지 숫자로 단지 열 개의 수를 나타내는 데에 그치지 않았다. 열 가지 숫자를 조합하여 헤아릴 수 없이 많은 수를 나타내는 방법을 찾았다. 그 방법은 다음과 같다. 여러 숫자를 연이어 쓰면 각 숫자는 서로 다른 위치를 갖게 된다. 또한, 연이어 쓰인 숫자들은 연결되어 하나의 숫자열을 이룬다. 여기에 각 숫자의 위치가 규칙적으로 어떤 수를 가리킨다는 간단한 규칙이 결합하면, 한 숫자열은 한 수를 가리키게 된다. 각 숫자의 위치는 오른쪽에서 왼쪽으로 차례로 10씩 곱해진 수의 자리다. 단, 가장 오른쪽에 있는 숫자의 위치는 본래 그 숫자가 가리키는 수의 자리다. 다시 말해, 일의 자리다. 예를 들어, 여섯 자리의 숫자열 104759의 각 자리와 각 자리의 숫자 그리고 그 숫자가 가리키는 수는 아래와 같다.
| 십만(105)의 자리 | 만(104)의 자리 | 천(103)의 자리 | 백(102)의 자리 | 십(10)의 자리 | 일(1)의 자리 |
| 1 | 0 | 4 | 7 | 5 | 9 |
| 일십만 | 영 | 사천 | 칠백 | 오십 | 구 |
특히, 빈자리를 숫자 0으로 대신한다. 현대의 수학 기호를 사용해 숫자열 104759가 나타내는 수를 표현하면 아래와 같다.
\[ 104759 = 1 \times 10^{5} + 0 \times 10^{4} + 4 \times 10^{3} + 7 \times 10^{2} + 5 \times 10 + 9 \]
이러한 십진법은 위치 기수법(Positional numeral system)으로 더욱 발전했다. 위치 기수법은 자릿수가 하나씩 높아질 때, 정해진 기수(Radix, Base)도 하나씩 거듭 곱하는 규칙에 따라 나열된 숫자열로 수를 표현하는 방법이다. 십진법에서 기수는 10이다. 그리고 십진법에 필요한 숫자는 10개다. 그런데 만약 기수가 2라면, 필요한 숫자는 몇 개일까? 각 자리가 가리키는 수에 주목하자. 이진법에서 일의 자리 다음은 이의 자리다. 따라서 이진법의 일의 자리는 영과 일만 나타내면 되므로 2개의 숫자가 필요하다. 예를 들어 이진법 수 100011(2)의 각 자리의 숫자가 가리키는 수와 숫자열이 가리키는 수는 아래와 같다.
| 32(25)의 자리 | 16(24)의 자리 | 8(23)의 자리 | 4(22)의 자리 | 2의 자리 | 1의 자리 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
한편, 기수가 16이라면, 필요한 숫자는 몇 개일까? 십육진법에서 일의 자리 다음은 십육의 자리다. 따라서 십육진법의 일의 자리는 영부터 십오까지 15개의 숫자2가 필요하다. 예를 들어, 십육진법 수 C260A1(16)의 각 자리의 숫자가 가리키는 수와 숫자열이 가리키는 수는 아래와 같다.
| 165의 자리 | 164의 자리 | 163의 자리 | 162의 자리 | 16의 자리 | 1의 자리 |
| C | 2 | 6 | 0 | A | 1 |
고대 인도 문명에서 시작된 수를 표현하던 방법은 오늘날 널리 사용되고 있다. 서로 다른 열 가지 숫자 특히, 빈 자리마저 표현한 0 그리고 숫자들을 조합하는 탁월한 규칙은 이후로 다양한 기수법을 탄생시켰다. 또한, 그들의 독창적인 기수법의 출발점이 그들의 독창적인 세계관이라는 점은 전에 이야기했던 유클리드의 공리적 방법의 출발점이 고대 그리스 문명의 세계관이라는 점과 맥을 같이 하고 있다.
참고
- https://en.wikipedia.org/wiki/Arabic_numerals
- https://en.wikipedia.org/wiki/Hindu-Arabic_numeral_system
- https://en.wikipedia.org/wiki/Palya
- https://en.wikipedia.org/wiki/Numeral_system
- https://en.wikipedia.org/wiki/Positional_notation
- https://en.wikipedia.org/wiki/Decimal
- https://en.wikipedia.org/wiki/Hexadecimal