탄성충돌과 원주율 with AlgeoMath

충돌 영상

유튜브 채널 3Blue1Brown을 운영하는 그랜트 샌더슨(Grant Sanderson)은 그레고리 갈페린(Gregory Galperin)의 당구공의 충돌에서 관찰할 수 있는 원주율에 대한 논문(Playing with pool with pi)을 영상으로 재미있게 풀어냈다. 첫 번째 영상에서 충돌 횟수에서 등장하는 원주율을 관찰할 수 있고, 두 번째 영상에서 원주율이 등장하는 이유를 알 수 있다.

숫자 세기 퍼즐의 가장 예상치 못한 답 - Grant Sanderson(2019)

그래서 블럭들이 충돌하는 횟수가 왜 원주율에 가까워질까요? - Grant Sanderson(2019)

탄성충돌과 원주율 with AlgeoMath

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설명

충돌 영상 속 상황을 직접 실험한다.

탄성충돌

• 탄성충돌(Elastic collision)이란 두 물체가 충돌할 때, 두 물체의 운동에너지가 운동에너지가 아닌 다른 에너지로도 전환되지 않는 충돌을 뜻한다.
  • 예를 들면, 화학 반응이 없는 두 원자 사이의 충돌이다.
• 두 물체 사이의 충돌에서 열과 소리 그리고 위치 등의 다른 에너지로 전환되어 발생하는 운동에너지 손실 미비하면, 그런 충돌도 탄성충돌로 볼 수 있다.
  • 예를 들면, 당구대 위의 두 당구공 사이의 충돌이다.

충돌 전에 충돌 후의 속도를 알 수 있을까?

• 충돌 전인 두 물체의 질량과 처음 속도만 알 때, 충돌 후의 속도를 미리 알 수 있을까?
• 운동량(Momentum) 그리고 운동에너지(Kinetic energy)를 이용하면 알 수 있다.
  • 운동량은 질량과 속도의 곱이다.
    • 속도란 물체의 위치가 변하는 정도를 나타내므로 방향이 있어, 속도에 질량을 곱한 운동량에도 속도와 같은 방향이 있다.
    • 탄성충돌은 외부의 어떤 힘에도 영향을 받지 않기 때문에 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)에 따라 탄성충돌에서는 두 물체의 운동량의 합이 보존된다. 이를 등식으로 표현할 수 없을까?
      • 탄성충돌에서 왼쪽 물체의 질량을 \( m_{1} \), 충돌 전의 속도를 \( u_{1} \) 그리고 오른쪽 물체의 질량을 \( m_{2} \), 충돌 전의 속도를 \( u_{2} \)라 하자. 그런데 충돌 뒤에 좌우 두 물체의 속도를 구하고 싶은데 모르는 값이다. 즉, 두 미지수다. 각각 x와 y라 하자. 두 물체가 가진 운동량의 합은 충돌 전후가 같다. 따라서, 운동량 합의 보존은 다음 등식으로 표현된다.
      • \( m_{1} x + m_{2} y = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} \)
  • 운동에너지는 운동하는 물체를 정지시키는 데에 필요한 일(Work)의 양이다.
    • 그 값은 질량과 속도의 크기(속력)의 제곱의 곱을 2로 나누어 구한다.
    • 탄성충돌에서는 운동에너지의 손실이 없기 때문에 두 물체의 운동에너지 합이 보존된다. 따라서, 운동에너지 합의 보존은 다음 등식으로 표현된다.
    • \( \frac{1}{2} m_{1} x^{2} + \frac{1}{2} m_{2} y^{2} = \frac{1}{2} m_{1} {u_{1}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {u_{2}}^{2} \)
    • 양변에 2를 곱하면 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
    • \( m_{1} x^{2} + m_{2} y^{2} = m_{1} {u_{1}}^{2} + m_{2} {u_{2}}^{2} \)
• 따라서, 두 방정식을 동시에 만족하는 해를 구하면 충돌 후의 속도 x와 y를 미리 알 수 있다.
  \( \begin{cases}
  m_{1} x + m_{2} y = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} & \cdots \textrm{Meq}
  \\
  m_{1} x^{2} + m_{2} y^{2} = m_{1} {u_{1}}^{2} + m_{2} {u_{2}}^{2} & \cdots \textrm{Keq}
  \end{cases} \)
  
  • 질량과 처음 속도가 문자가 아닌 수로 주어졌다면, 아마도 방정식 Meq의 y를 x에 대한 식으로 나타내고 y를 방정식 Keq에 대입하여 x에 대한 이차방정식의 해를 구하겠지만, 문자 그대로 보면 다른 방식으로 접근할 수 있다.
  • 두 방정식의 우변을 모두 좌변으로 이항하고 인수분해하여 다음과 같이 표현한다.
    • \( \begin{cases}
      m_{1} \left( x - u_{1} \right) + m_{2} \left( y - u_{2} \right) = 0
      \\
      m_{1} \left( x^{2} - {u_{1}}^{2} \right) + m_{2} \left( y^{2} - {u_{2}}^{2} \right) = 0
      \end{cases} \)
  • 그리고나서 위 방정식의 좌변의 첫 번째 항을 이항하고, 아래 방정식을 인수분해하여 다음과 같이 표현하자.
    • \( \begin{cases}
      m_{2} \left( y - u_{2} \right) = - m_{1} \left( x - u_{1} \right)
      \\
      m_{1} \left( x - u_{1} \right) \left( x + u_{1} \right) + m_{2} \left( y - u_{2} \right) \left( y + u_{2} \right) = 0
      \end{cases} \)
  • 그러면, 대입을 통해 다음과 같은 새로운 방정식을 얻을 수 있다.
    • \( m_{1} \left( x - u_{1} \right) \left( x + u_{1} \right) - m_{1} \left( x - u_{1} \right) \left( y + u_{2} \right) = 0 \)
  • 이제 좌변을 인수분해하면 다음과 같다.
    • \( m_{1} \left( x - u_{1} \right) \left( x - y + u_{1} - u_{2} \right) = 0 \)
  • 위 방정식은 좌변의 세 인수의 곱이 영임을 뜻한다. 그런데 질량 \( m_{1} \)은 양수이므로 영이 아니고, 충돌 후의 속도는 충돌 전과 같을 수 없으므로 \( x - u_{1} \)도 영이 아니다. 그러므로 다음과 같다.
    • \( x - y + u_{1} - u_{2} = 0 \cdots \textrm{Veq} \)
    • 한편, 방정식 Veq는 아래와 같이 탄성충돌 전후로 두 물체의 속도 합이 보존됨을 보여준다.
      • \( x + u_{1} = y + u_{2} \)
  • 이제 방정식 Veq와과 Meq에 대한 연립일차방정식을 해결하면 충돌 후의 속도 x와 y를 구할 수 있다.
• \( x = \cfrac{ \left( m_{1} -m_{2} \right) u_{1} +2m_{2}u_{2} }{ m_{1} +m_{2} } \), \( y = \cfrac{ 2m_{1}u_{1} +\left( m_{2} -m_{1} \right) u_{2} }{ m_{1} +m_{2} } \)

한 직선 위의 서로 다른 위치에 정지한 두 물체는 처음에 어떤 일정한 속도로 운동해야 충돌할 수 있을까?

• 한 직선 위의 두 물체가 서있다. 왼쪽과 오른쪽 물체의 처음 속도를 각각 \( u_{1} \), \( u_{2} \)라 하자.
  • 운동 방향이 오른쪽일 때, 속도의 부호를 양(+)으로 정하자.
    • 그러면 운동 방향이 왼쪽일 때, 속도의 부호는 음(-)이다.
  • 운동 방향이 다르다면, 두 물체는 서로 마주 보는 형태를 가져야한다.
    • 즉, 왼쪽 물체의 처음 속도 \( u_{1} \)이 양수이고, 오른쪽 물체의 처음 속도 \( u_{2} \)가 음수가 되어야 한다.
      • \( u_{1} > 0 > u_{2} \)
  • 운동 방향이 같다면, 뒤에 있는 물체가 더 빨라야 한다.
    • 운동 방향이 오른쪽으로 같다면 뒤에 있는 왼쪽 물체가 더 빨라야 한다. 다시 말해, 왼쪽 물체의 속력이 오른쪽 물체의 속력 보다 커야 한다. 즉, \( \left| u_{1} \right| > \left| u_{2} \right| \)이다.
      • 그런데 운동 방향이 오른쪽이므로 \( u_{1} \)과 \( u_{2} \)가 모두 양수이므로 다음과 같이 표현된다.
      • \( u_{1} > u_{2} > 0 \)
    • 운동 방향이 왼쪽으로 같다면 뒤에 있는 오른쪽 물체가 더 빨라야 한다. 다시 말해, 오른쪽 물체의 속력이 왼쪽 물체의 속력 보다 커야 한다. 즉, \( \left| u_{2} \right| > \left| u_{1} \right| \)이다.
      • 그런데 운동 방향이 왼쪽이므로 \( u_{1} \)과 \( u_{2} \)가 모두 음수이므로 \( -u_{2} > -u_{1} \)이다. 따라서 다음과 같다.
      • \( 0 > u_{1} > u_{2} \)
  • 그러므로 두 물체의 운동 방향에 관계없이 \( u_{1} > u_{2} \)이다.
  • 역으로 \( u_{1} > u_{2} \)이면 두 물체의 운동 방향이 어떤 경우라도 충돌하게 된다.
• 따라서, 충돌 가능한 속도 조건은 \( u_{1} > u_{2} \)이다.

탄성충돌

• 방향이 정해진 한 직선 위의 서로 다른 위치에 정지한 두 물체가 있다.
• 왼쪽 물체의 질량이 \( m_{1} \), 오른쪽 물체의 질량이 \( m_{2} \)이다.
• 만약 왼쪽 물체와 오른쪽 물체가 각각 \( u_{1} \), \( u_{2} \)로 정해진 일정한 속도로 직선 운동하기 시작하고,
  • \( u_{1} > u_{2} \)이며
  • 탄성충돌이 발생하는 상황이라면,
• 두 물체는 충돌하고 충돌 후 왼쪽과 오른쪽 물체는 각각 일정한 속도 \( v_{1} \)과 \( v_{2} \)로 직선 운동한다.
  \( v_{1} = \cfrac{ \left( m_{1} -m_{2} \right) u_{1} +2m_{2}u_{2} }{ m_{1} +m_{2} } \), \( v_{2} = \cfrac{ 2m_{1}u_{1} +\left( m_{2} -m_{1} \right) u_{2} }{ m_{1} +m_{2} } \)

수학의 눈으로 보는 탄성충돌

• 탄성충돌 후의 두 물체의 속도 \( v_{1} \)과 \( v_{2} \)는 운동량 합 보존에 대한 방정식 Meq와 운동에너지 합 보존에 대한 방정식 Keq를 동시에 만족하는 해이다. 그런데 당연하게도 탄성충돌 전의 두 물체의 속도 \( u_{1} \)과 \( u_{2} \)도 Meq와 Keq를 동시에 만족한다.^[각주:1]
  • 또한, 방정식 Meq는 직선의 방정식이고, 방정식 Keq는 타원의 방정식이다.
  • 따라서, 두 좌표 \( \left( u_{1}, \, u_{2} \right) \)와 \( \left( v_{1}, \, v_{2} \right) \)는 직선과 타원의 두 교점이다.
• 한편, 위상공간(Phase space)이란, 물체의 위치 또는 상태를 축으로 갖는 수직선 또는 좌표평면과 같은 공간을 뜻한다.
  • 두 물체 사이의 탄성충돌에 있어 왼쪽 물체의 속도를 x축, 오른쪽 물체의 속도를 y축으로 하는 좌표평면이 바로 두 물체 사이의 탄성충돌에 대한 속도 위상공간이고, 이 2차원 공간에서 한 점 좌표는 두 물체의 속도에 따라 결정된다.
• 따라서, 속도 위상공간에서 탄성충돌을 바라보면 다음과 같다.
  • 탄성충돌 전에 두 물체의 속도를 나타내는 한 점은 속도위상공간의 좌표 \( \left( u_{1}, \, u_{2} \right) \)에 있다가, 탄성충돌이 일어나면 \( \left( v_{1}, \, v_{2} \right) \)로 이동한다.
• 다시 말해, 탄성충돌은 속도 위상공간에 있는 한 점의 좌표이동이다. 특히, 이동 전과 후의 좌표는 직선^[각주:2]과 타원^[각주:3]의 두 교점이다.

벽과 물체의 충돌

• 영상 속 상황에는 벽이 있다. 특히, 이 벽은 어떤 충돌이 일어나도 꿈적하지 않는다.
• 그러면 일정한 속도로 이 벽을 향해 운동하는 왼쪽 물체는 어떻게 될까?
  • 탄성충돌이 일어나는 상황이므로 충돌 후 운동에너지 손실이 없다.
  • 그리고 벽은 절대 움직이지 않는다.
  • 따라서, 충돌 후 운동에너지는 다시 왼쪽 물체에게 그대로 전해진다.
  • 그러므로 왼쪽 물체의 운동 방향은 정반대로 바뀌고, 충돌 전 속력을 그대로 유지한다.
• 다시 말해, 벽과 충돌 전 일정한 속도 \( u_1 \)으로 운동하는 왼쪽 물체는 탄성충돌이 발생하고 일정한 속도 \( -u_1 \)으로 운동한다. 한편, 오른쪽 물체는 벽과 왼쪽 물체가 충돌하는 동안에는 영향을 받지 않으므로 속도가 변함없다.
• 따라서, 벽과 왼쪽 물체의 충돌은 속도 위상공간에서 보면 한 점의 y축 대칭이동이다.

탄성충돌 with AlgeoMath

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설명

직선 위에서 두 물체의 탄성충돌을 실험한다.

탄성충돌 위상공간 with AlgeoMath

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설명

직선 위의 두 물체에 대한 탄성충돌을 속도 위상공간에서 관찰한다.

탄성충돌과 원주율에 대한 위상공간 with AlgeoMath

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설명

충돌 영상 속 상황을 속도 위상공간에서 관찰한다.

참고

• https://www.youtube.com/c/3blue1brown
• https://www.maths.tcd.ie/~lebed/Galperin.%20Playing%20pool%20with%20pi.pdf
• https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision
• https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum
• https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy
• https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_laws_of_motion
• https://en.wikipedia.org/wiki/Work_(physics)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space

1. 실제로 x와 y에 대입해보자. 자명할 것이다. [본문으로]
2. 운동량 합 보존 방정식 [본문으로]
3. 운동에너지 합 보존 방정식 [본문으로]