삼각형의 닮음 조건은 왜 성립할까?

닮은 도형의 의미

• 일반적인 닮음의 뜻은 다음과 같다.
• 닮음이란, 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 도형이 다른 도형과 합동일 때 두 도형 사이의 관계이다.
  • 이 설명은 직관적이지만, 도형을 어떻게 확대 및 축소하는 지에 대해 더 자세한 추가 설명이 필요하다.
  • 그런데 도형 중에서도 다각형에서는 다음과 같은 설명이 가능하다.
• 서로 닮은 두 도형은 대응변의 길이의 비가 모두 같고^[각주:1], 대응각의 크기가 각각 같다.
  
  • 이 설명은 변의 길이와 각의 크기라는 구체적인 양으로 닮음을 말하기 때문에 이를 통해 두 다각형의 닮음 여부를 판정할 수도 있다.
  • 따라서, 여기서는 이 설명을 닮음의 뜻으로 대신한다.

삼각형의 닮음 조건

• 삼각형의 경우 다음 조건을 만족하면 서로 닮으므로, 이 조건들을 삼각형의 닮음 조건(Similarity of triangles)이라 한다.
  • 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 (SSS 닮음)
  • 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 닮음)
  • 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때 (AA 닮음)
• 중학교에서 직각삼각형의 합동 조건의 경우에는 그 이유를 밝히지만, 삼각형의 닮음 조건에 대해서는 직관적인 정당화에 머무른다.
• 삼각형의 닮음 조건을 만족하는 두 삼각형은 왜 서로 닮은 도형이 될까?

삼각형의 닮음 조건 증명

원론 제6권의 명제2

삼각형의 한 변에 평행한 직선이 다른 한 변을 지나면, 삼각형의 두 변은 같은 비율로 잘린다.
그리고 삼각형의 두 변을 같은 비율로 자르면, 자르는 점을 지나는 직선은 남은 한 변에 평행한다.

토마스 히스 경(1908). 열 세권의 원론 - 소개와 해설을 담은 번역. 케임브리지 대학교 출판부.

If a straight line be drawn parallel to one of the sides of a triangle, it will cut the sides of the triangle proportionally ; and, if the sides of the triangle be cut proportionally, the line joining the points of section will be parallel to the remaning side of the triangle.

Sir Thomas L. Heath(1908). The thirteen books of the Elements translated with introduction and commentary. Cambridge at the University Press.

• 유클리드의 원론 제6권에 실린 두 번째 명제다.
  • 명제는 두 문장으로 구성되어 있는데, 두 번째 문장은 첫 번째 문장의 역이다.
  • 여기서는 첫 번째 문장을 명제2 그리고 두 번째 문장을 명제2의 역이라고 한다.
• 중학교에서는 '삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비'라는 성질로 소개된다.
• 그리고 이 성질을 삼각형의 닮음 조건으로 증명한다.
• 그런데 원론에서 이 성질을 증명하는 과정을 보면 삼각형의 닮음 조건은 없다. 그럼 어떻게 증명할까?

명제2에 숨은 AA 닮음

원론 제6권 명제2에 대한 증명

• △ABC에서 변 AB와 변 AC를 자르면서 변 BC에 평행한 선분 DE이 있다고 하면, 다음과 같이 넓이가 같은 삼각형들이 만들어진다.
  • \( \bigtriangleup \rm{DBE} = \bigtriangleup \rm{DCE} \)
    ∵ 변 DE를 공통인 밑변으로 높이가 같으므로 넓이가 같다.
  • \( \bigtriangleup \rm{ABE} = \bigtriangleup \rm{ADC} \)
    ∵ △ADE를 공유하여 넓이가 같다.
• 그리고 높이가 같은 두 삼각형에 대하여 밑변의 길이의 비와 넓이의 비는 같으므로 다음과 같이 선분의 길이의 비에 대하여 등식이 성립하면서 명제2는 증명된다.
  • \( \cfrac{ \overline{\rm{AD}} }{ \overline{\rm{AB}} } = \cfrac{ \bigtriangleup \rm{ADE} }{ \bigtriangleup \rm{ABE} } = \cfrac{ \bigtriangleup \rm{ADE} }{ \bigtriangleup \rm{ADC} } = \cfrac{ \overline{\rm{AE}} }{ \overline{\rm{AC}} } \)
  • \( \cfrac{ \overline{\rm{AD}} }{ \overline{\rm{DB}} } = \cfrac{ \bigtriangleup \rm{ADE} }{ \bigtriangleup \rm{DBE} } = \cfrac{ \bigtriangleup \rm{ADE} }{ \bigtriangleup \rm{DCE} } = \cfrac{ \overline{\rm{AE}} }{ \overline{\rm{EC}} } \)
  • \( \cfrac{ \overline{\rm{DB}} }{ \overline{\rm{AB}} } = \cfrac{ \bigtriangleup \rm{DBE} }{ \bigtriangleup \rm{ABE} } = \cfrac{ \bigtriangleup \rm{DCE} }{ \bigtriangleup \rm{ADC} } = \cfrac{ \overline{\rm{EC}} }{ \overline{\rm{AC}} } \)
• 이 중에서 첫 번째 등식에 주목하자.
  • △ABC와 △ADE는 AA 닮음 조건을 만족하고 있다.
    평행선에 의해 동위각 B와 D 그리고 C와 E의 크기가 각각 같기 때문이다.
  • 그리고 첫 번째 등식에 의해 크기가 같은 두 쌍의 대응각과 마주보는 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다.
  • 따라서, 남은 한 쌍의 대응변의 길이의 비만 같으면 AA 닮음 조건이 증명된다.

평행사변형으로 이동하는 선분의 길이

• 교점 E를 지나면서 변 AB에 평행한 직선과 변 BC의 교점을 F라 하고,
  교점 F를 지나면서 변 AC에 평행한 직선과 변 AB의 교점을 G라 하자.
  • 그러면, 평행사변형 DBFE와 AGFE가 만들어진다.
  • 평행사변형에서 마주 보는 변의 길이는 같으므로,
    • \( \overline{\rm{DE}} = \overline{\rm{BF}} \)이고,
    • \( \overline{\rm{DB}} = \overline{\rm{EF}} = \overline{\rm{AG}} \)이다.
    • 여기서 다음을 알 수 있다.
      \( \begin{align*} \overline{\rm{AD}} &= \overline{\rm{AB}} - \overline{\rm{DB}} \\ &= \overline{\rm{AB}} - \overline{\rm{AG}} = \overline{\rm{GB}} \end{align*} \)
  • 이제 변 AC와 평행한 선분 GF에 대하여 명제2의 변의 길이의 비에 대한 첫 번째 등식을 적용하면 다음과 같다.
    • \( \cfrac{ \overline{\rm{DE}} }{ \overline{\rm{BC}} } = \cfrac{ \overline{\rm{BF}} }{ \overline{\rm{BC}} } = \cfrac{ \overline{\rm{BG}} }{ \overline{\rm{BA}} } = \cfrac{ \overline{\rm{AD}} }{ \overline{\rm{AB}} } \)
• 따라서, 다음 등식이 성립한다.
  \( \cfrac{ \overline{\rm{AD}} }{ \overline{\rm{AB}} } = \cfrac{ \overline{\rm{AE}} }{ \overline{\rm{AC}} } = \cfrac{ \overline{\rm{DE}} }{ \overline{\rm{BC}} } \)
• 그러므로, AA 조건을 만족하면 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같다.

명제2의 역에 숨은 SAS 닮음

원론 제6권 명제2의 역에 숨은 SAS 닮음

• △ABC의 두 변 AB와 AC를 다음과 같은 비율로 점 D와 E에서 자른다고 하자.
  • \( \cfrac{ \overline{\rm{AD}} }{ \overline{\rm{AB}} } = \cfrac{ \overline{\rm{AE}} }{ \overline{\rm{AC}} } \) ··· eq1
  • 그러면, △ABC와 △ADE은 SAS 닮음 조건을 만족하게 된다. 
• 한편, 변 AB 위의 점 D를 지나면서 변 BC에 평행한 직선과 변 AC의 교점을 F라 하자.
• 그러면 명제2에 따라, 다음과 같은 변의 길이의 비에 대한 등식이 성립한다.
  \( \cfrac{ \overline{\rm{AD}} }{ \overline{\rm{AB}} } = \cfrac{ \overline{\rm{AF}} }{ \overline{\rm{AC}} } \) ··· eq2
• 두 등식 eq1과 eq2에 따라 변 AE와 AF의 길이는 같다.
  \( \overline{\rm{AE}} = \cfrac{ \overline{\rm{AD}} }{ \overline{\rm{AB}} } \times \overline{\rm{AC}} = \overline{\rm{AF}} \)
• 따라서, 점 E와 점 F는 같은 위치에 있게 되고, 선분 DE와 변 BC는 서로 평행하게 되므로 명제2의 역은 증명된다.
• 또한, △ABC와 △ADE의 SAS 닮음도 증명된다.
  • 평행선에 의해 동위각 B와 D 그리고 C와 E의 크기가 각각 같다.
  • 명제2에 의해 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같다.

SSS 닮음

SSS 닮음 증명

• △ABC와 △DEF가 SSS 닮음 조건을 만족한다고 하자.
• 다시 말해, △ABC와 △DEF의 변의 길이 사이에 다음과 같은 비가 있다고 하자.
  \( \cfrac{ \overline{\rm{DE}} }{ \overline{\rm{AB}} } = \cfrac{ \overline{\rm{DF}} }{ \overline{\rm{AC}} } = \cfrac{ \overline{\rm{EF}} }{ \overline{\rm{BC}} } \) ··· eq3
• 그리고 변 AB위에서 꼭짓점 A로부터 변 DE의 길이와 같은 거리를 갖는 점을 G라 하고,
  점 G를 지나면서 변 BC에 평행한 직선과 변 AC의 교점을 H라 하자.
• 그러면 명제2에 따라, 다음과 같은 변의 길이의 비에 대한 등식이 성립한다.
  \( \cfrac{ \overline{\rm{AG}} }{ \overline{\rm{AB}} } = \cfrac{ \overline{\rm{AH}} }{ \overline{\rm{AC}} } = \cfrac{ \overline{\rm{GH}} }{ \overline{\rm{BC}} } \) ··· eq4
• 두 등식 eq3와 eq4에 따라 변 DF와 AH의 길이는 같다.
  \( \overline{\rm{DF}} = \cfrac{ \overline{\rm{DE}} }{ \overline{\rm{AB}} } \times \overline{\rm{AC}} = \cfrac{ \overline{\rm{AG}} }{ \overline{\rm{AB}} } \times \overline{\rm{AC}} = \overline{\rm{AH}} \)
• 같은 방법으로 변 EF와 GH의 길이도 같다.
  \( \overline{\rm{EF}} = \cfrac{ \overline{\rm{DE}} }{ \overline{\rm{AB}} } \times \overline{\rm{BC}} = \cfrac{ \overline{\rm{AG}} }{ \overline{\rm{AB}} } \times \overline{\rm{BC}} = \overline{\rm{GH}} \)
• 따라서, SSS 합동 조건에 따라 △DEF와 △AGH는 합동이 된다.
  • 그러므로 ∠D=∠A, ∠E=∠G, ∠F=∠H이다.
  • 또한, 평행선에 의해 동위각 G와 B 그리고 H와 C의 크기가 각각 같다.
• 그래서 ∠D=∠A, ∠E=∠B, ∠F=∠C이므로, △ABC와 △DEF는 닮음이다.

1. 대응변의 길이의 비가 모두 같으므로, 이 비를 하나로 이름지어 부를 수 있다. 이것을 닮음비라고 부른다. [본문으로]