합동인 도형의 의미
- 일반적인 합동의 뜻은 다음과 같다.
- 합동이란, 한 도형의 모양과 크기를 바꾸지 않고 다른 도형에 완전히 포갤 수 있을 때 두 도형 사이의 관계이다.
- 이 설명은 직관적이지만, 도형을 어떻게 포개는 지에 대해 더 자세한 추가 설명이 필요하다.
- 그런데 도형 중에서도 다각형에서는 다음과 같은 설명이 가능하다.
- 서로 합동인 두 도형은 대응변의 길이가 각각 같고, 대응각의 크기가 각각 같다.
- 이 설명은 변의 길이와 각의 크기라는 구체적인 양으로 합동을 말하기 때문에 이를 통해 두 다각형의 합동 여부를 판정할 수도 있다.
- 따라서, 여기서는 이 설명을 합동의 뜻으로 대신한다.
삼각형의 합동 조건
- 삼각형의 경우 다음 조건을 만족하면 서로 합동이므로, 이 조건들을 삼각형의 합동 조건(Congruence of triangles)이라 한다.
- 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때 (SSS 합동)
- 두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 합동)
- 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 같을 때 (ASA 합동)
- 중학교에서는 삼각형의 합동 조건이 성립하는 이유를 작도(Construction)를 통해 하나로 정해지는 삼각형으로 밝힌다.
- 여기서는 그 과정을 들여다본다.
삼각형의 합동 조건 증명
- 작도를 통해 삼각형의 합동 조건을 밝히는 흐름은 다음과 같다.
- 두 삼각형이 삼각형의 합동 조건 중에 한 조건을 만족한다고 가정하자.
- 모든 삼각형의 세계에서 그러한 조건을 만족하는 삼각형은 오직 하나 존재한다.
- 따라서, 두 삼각형은 유일하게 존재하는 삼각형과 일치한다.
- 그러므로 두 삼각형은 서로 합동이다.
- 여기서, 기존의 삼각형을 모든 삼각형의 세계에 있는 유일한 삼각형으로 연결짓는 작업이 바로 작도이다.
- 이게 무슨 말인가?
삼각형의 결정 조건
- 다음 조건을 만족하면 삼각형은 하나로 정해지므로, 이 조건들을 삼각형의 결정 조건(Solution of triangles)이라 한다.
- 세 변의 길이를 알 때 (SSS 결정)
- 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 (SAS 결정)
- 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기를 알 때 (ASA 결정)
- 단, 양 끝 각의 크기의 합은 평각보다 작다.
- 우선 눈금 없는 자와 컴퍼스를 사용하여 길이가 같은 선분, 크기가 같은 각을 작도할 수 있다.
- 그리고 위의 결정 조건이 주어지면, 두 가지 작도를 거듭하여 하나의 삼각형을 작도할 수 있다.
- 따라서, 하나의 삼각형이 결정된다.
