2014년 1월 22일에 작성한 텀블러 포스트이다.
영문 위키백과에 있는 'Simson line'의 일부를 번역했다.
심슨 직선 (Simson line)
기하학에서, 삼각형 ABC와 그 외접원 위의 점 P가 주어졌을 때, P에서 직선 AB, AC, BC에 있는 최소 거리인 세 점은 동일 직선 상에 있다(collinear). 이러한 세 점을 지나는 직선을 로버트 심슨(Robert Simson)의 이름을 따서 점 P의 심슨 직선이라고 한다. 한편, 이 개념은 1797년 윌리엄 왈라스(William Wallace)에 의해 처음으로 알려졌다.
역도 참이다1; 만약 세 직선 위에 있는 P까지의 거리가 최소인 세 점이 동일 직선 상에 있고, 세 직선 중에 어느 두 직선도 서로 평행하지 않는다면, P는 세 직선이 만드는 삼각형의 외접원 위에 있다. 다른 말로 하면, 삼각형 ABC와 점 P의 심슨 직선은 삼각형 ABC와 P의 수족 삼각형(pedal triangle)이 직선으로 퇴화된 것이고, 이 조건은 P의 자취가 삼각형 ABC의 외접원이 되게 한다.
존재성 증명
∠NMP + ∠PML = 180°임을 밝히면 충분하다.
사변형 PCAB는 원에 내접하므로, ∠PBN + ∠ACP = ∠PBA + ∠ACP = 180° 이다.
사변형 PMNB는 원에 내접하므로2, ∠PBN + ∠NMP = 180° 이다.
따라서, ∠NMP = ∠ACP 이다.
이제 사변형 PLCM이 원에 내접하므로, ∠PML = ∠PCL = 180° - ∠ACP 이다.
그러므로, ∠NMP + ∠PML = ∠ACP + (180° - ∠ACP) = 180° 이다.