2014년 2월 2일에 작성한 텀블러 포스트이다.
'Cut-The-Knot'의 "Miquel’s Point of a 4-line Via Spiral Similarity"에는 다음의 내용이 있다. 약간 수정하여 옮겨봤다.
나선 변환(Spiral similarity)1은 중심이 같은 확대·축소 변환(central similarity)과 회전 변환(rotation)의 합성 변환이다. 두 원은 항상 닮음이고 한 원을 다른 원 위로2(onto) 사상하는 무한히 많은3 나선 변환이 존재한다. 마찬가지로 두 선분도 항상 닮음이다. 그러나 한 선분이 다른 선분 위로(onto) 사상하는 나선 변환은 존재한다면 유일하다.
두 선분의 길이가 같고 평행한 경우에 나선 변환은 평행 이동으로 퇴화된다. 그리고 기울기는 다르지만 길이가 같은 경우에는 회전 변환이 되고, 반대의 경우에는 확대·축소 변환이 된다. 따라서 이러한 경우들은 모두 제쳐두자.
이제 길이와 기울기가 다른 두 선분 AB와 CD가 주어졌다. AB를 CD 위로(onto) 대응시키는 나선 변환의 중심을 어떻게 작도할 수 있을까?
직선 AB와 CD의 교점을 P라고 하자. △ACP와 △BDP의 외접원이 P와 다른 한 점에서도 만나면, 그 점을 O라고 하자. 이제 O가 나선 변환의 중심이 됨을 밝히자. 만약 두 원이 접하면 P(=O)가 중심이 된다.
O가 나선 변환의 중심임을 증명하는 과정은 원문의 내용이 부실하기도 하고, 보충하기에는 나누어 생각할 경우가 좀 많아서 생략한다. 원문에는 없지만, 교점 P가 두 선분의 어느 끝점인 경우, 예를 들어 P=A인 경우에 △ACP가 만들어질 수 없으므로 △ACP의 외접원은 그릴 수 없다. 이러한 경우에는 AB에 접하면서 A를 접점으로 하고 C를 지나는 원을 그리면 된다. 이 원은 △ACP가 있는 경우에 AB의 길이 또는 위치를 조정하여 A를 P에 가깝게 할 때, △ACP의 외접원의 극한이다. 아래는 몇 가지 경우에 대한 그림이다.
그리고 원문에서는 AC와 BD가 교점을 가지면 O가 네 직선 AB, CD, AC, BD에 대한 미켈의 점(Miquel’s Point)임을 설명하고 있다.
나선 변환에 의해 AB가 CD 위로 사상되면, AC는 BD 위로 사상된다. 이는 Q가 직선 AC와 BD의 교점일 때, O는 △ABQ와 △CDQ의 외접원의 교점이 됨을 의미한다.
네 직선 AB, CD, AC, BD 중에서 세 직선을 택하여 만들어지는 삼각형은 네 개이다. 위에서 보인 것은 네 삼각형의 외접원이 AB를 CD 위로, AC를 BD 위로 사상하는 나선 변환의 중심 O를 공유한다는 것이다. 따라서 O는 네 직선에 대한 미켈의 점이다.
역시 원문에는 없지만, 위의 그림에서도 볼 수 있듯이 AC와 BD가 교점을 갖는다고해서 항상 △ABQ와 △CDQ가 만들어지는 것은 아니다. 이에 유의하자.
이제 원문에서 증명 없이 언급했던 나선 변환의 유일성을 증명해보자.
네 점 A, B, C, D에 대하여 AB∦CD 이면, A와 B를 각각 C와 D로 대응하는 나선 변환이 유일하게 존재한다.
A, B, C, D를 복소수로 보자. 중심이 z₀인 나선 변환 T(z) = z₀ + ω∙(z-z₀)에 대하여 다음의 연립방정식을 생각하자.
C = z₀ + ω∙(A-z₀)
D = z₀ + ω∙(B-z₀)
아랫식에서 윗식을 빼면 다음을 얻는다.
\[\omega = \frac{D - C}{B - A}\]
윗식을 z₀에 대하여 정리하면 다음을 얻는다.
C - ω∙A = (1-ω)z₀
AB∦CD 이므로 ω≠1 이다. 따라서 정리하면 다음과 같다.
\[z_0 = \frac{AD - BC}{D - C - B + A}\]
z₀와 ω는 A, B, C, D에 의존하여 하나로 결정되므로, A와 B를 각각 C와 D로 대응하는 나선 변환 T가 유일하게 존재한다. ∎