2014년 1월 27일에 작성한 텀블러 포스트이다.
Cut-The-Knot의 미켈의 점을 우리말로 옮겨봤다. 아래의 명제에 대한 증명에서 심슨 직선을 잘 활용하는 점이 흥미롭다.
주어진 삼각형의 변 또는 그 연장선 위에서 각각 한 점을 선택하자. Pivot 정리에 의하여, 그림에 있는 세 원은 한 점에서 만난다. 이 점을 세 원에 대한 미켈의 점(Miquel's Point)이라 한다.1
처음에 선택하는 세 점이 한 직선 위에 있을 때, 주어진 삼각형의 외접원도 또한 미켈의 점을 지난다.
이제 세 원에 대한 미켈의 점은 네 직선에 대한 미켈의 점이라고 불린다.
아래는 위 명제의 증명이다.
주어진 네 직선에 1, 2, 3, 4라고 번호를 붙이자. 한 번에 세 직선을 선택하는 네 가지 방법이 있다. 각각의 선택된 세 직선은 삼각형과 그 외접원을 만든다. 이제 네 원이 한 점을 공유함을 증명하자.
두 삼각형 123과 124를 고려하자. 그들의 외접원은 두 점에서 만나고, 그 중 1과 2의 교점이 아닌 점을 P라고 하자. 주어진 두 삼각형에 대하여 각각 P의 심슨 직선을 고려하자. 하나는 P에서 1, 2, 3에 내린 수선의 발을 지나고, 다른 하나는 P에서 1, 2, 4에 내린 수선의 발을 지난다. 따라서 두 심슨 직선은 두 점을 공유한다. 즉, 두 심슨 직선은 일치한다.
같은 방법으로 P에서 삼각형 134와 234의 변에 내린 수선의 발은 같은 직선 위에 있다고 할 수 있고, 그 직선은 삼각형 134와 234에 대한 P의 심슨 직선이다.
여기서, P는 삼각형 134와 234의 외접원 위에 있다. 그러므로 네 개의 외접원은 P에서 만난다! ∎
- 세 원은 주황, 노랑, 초록색의 원이고, 미켈의 점은 P이다. [본문으로]