2014년 2월 6일에 작성한 텀블러 포스트이다.
《수학의 천재들》에 수록된 헤론의 공식(Heron's Formula)의 증명을 간략히 요약하였다.
헤론의 공식 (Heron's Formula)
세변의 길이가 a, b, c 이고 넓이가 K인 임의의 삼각형에 대하여 다음이 성립한다.
K² = s(s−a)(s−b)(s−c)
단, s = ½(a+b+c) 이다.
r을 △ABC의 중심이 O인 내접원의 반지름이라하면, 다음이 성립한다.
△ABC = △AOB + △BOC + △COA
즉, K = ½ra + ½rb + ½rc = rs 이다.
특히, AG = CE 가 되도록 AB의 연장선 위에 점 G를 잡으면 다음이 성립한다.
- GB = s
- AD = s−a
- DB = s−b
- GA = s−c
H를 AB의 수선 AM과 OB의 수선 OL의 교점이라 하자.
△AHB와 △OHB는 HB를 공통 빗변으로 하는 직각삼각형이므로 네 점 A, H, B, O는 같은 원 위에 있다. 따라서, ∠AHB + ∠AOB = 180° 이다.
한편, 2α+2β+2γ = 360° 이므로 α+β+γ = 180° 이다. 그러므로, ∠AHB + ∠AOB = α+β+γ 이다. 이때, ∠AOB = β+γ 이므로 ∠AHB = α 이다.
⇒ △COF ~ △BHA
⇒ AB/AH = FC/FO = GA/r
따라서, 다음이 성립한다.
\[\frac{AB}{GA} = \frac{AH}{r} \tag{1} \label{1}\]
그리고 ◿KBO에서 OD는 밑변 KB와 수직이므로 OD는 KD와 DB의 기하평균이다. 즉, 다음이 성립한다.
\[r^2 = OD^2 = KD \cdot DB \tag{2} \label{2}\]
또한, ◿KAH ~ ◿KDO 이다.
⇒ AH/AK = OD/KD = r/KD
⇒ AH/r = AK/KD
이때, 등식 \((\ref{1})\)에 의하여 AB/GA = AK/KD 이다.
그리고나서 첫 번째 기술이 쓰인다. 위 식의 양변에 1을 더하는 것이다.
AB/GA + 1 = AK/KD + 1
통분하면 다음과 같다.
\[\frac{GA+AB}{GA} = \frac{AK+KD}{KD}\]
즉, GB/GA = AD/KD 이다. 여기서 두 번째 기술이 쓰인다. 좌변의 분모와 분자에 GB를 곱하고, 우변의 분모와 분자에 DB를 곱하는 것이다.
\[\frac{GB^2}{GA \cdot GB} = \frac{AD \cdot DB}{KD \cdot DB}\]
등식 \((\ref{2})\)에 의하여 다음이 성립한다.
s²/(GA∙GB) = AD∙DB/r²
△ABC의 넓이 K=rs 이므로 K² = r²s² = GA∙GB∙AD∙BD 이다.
즉, K² = s(s−a)(s−b)(s−c) 이다. ∎