여러가지 평균에 대한 부등식

2014년 2월 8일에 작성한 텀블러 포스트이다.

---

실수에서 다음의 네 가지 평균을 정의할 수 있다.

1. 조화 평균 (Harmonic Mean)
   n개의 양의 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n에 대하여 n/(1/x₁+1/x₂+⋯+1/x_n).
2. 기하 평균 (Geometric Mean)
   n개의 음이 아닌 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n에 대하여 (x₁x₂⋯x_n)^1/n.
3. 산술 평균 (Arithmetic Mean)
   n개의 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n에 대하여 (x₁+x₂+⋯+x_n)/n.
4. 이차 평균 (Quadratic Mean)
   n개의 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n에 대하여 ((x₁² +x₂²+⋯+x_n²)/n)^1/2.

이때, n개의 양의 실수에 대하여 HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM 이 성립한다.

우선 n개의 음이 아닌 실수에 대하여 AM≥GM이 성립함을 밝히자. 아래는 'Paul J. Nahin'의 《최상의 최소》의 부록A에 수록된 AM≥GM의 증명을 바탕으로 재구성한 것이다.

보조정리

y₁y₂⋯y_n = 1 을 만족하는 n개의 임의의 음이 아닌 실수 y₁, y₂, ⋯, y_n에 대하여 y₁ + y₂ + ⋯ + y_n ≥ n 이다.

단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때^[각주:1]만 성립한다.

---

위 보조정리는 모든 값들의 곱이 1인 경우의 AM≥GM이 성립함을 보여준다. 증명은 수학적 귀납법을 이용한다. n=1인 경우에는 자명하다. n=k인 경우에 성립한다고 가정하자.

이제 y₁y₂⋯y_ky_k+1=1 을 만족하는 k+1 개의 음이 아닌 실수 y₁, y₂, ⋯, y_k, y_k+1에 대하여 생각하자.

모든 값이 1보다 크면, 그들의 곱도 1 보다 커지므로 적어도 하나는 1 보다 작거나 같다. 이것을 y_i라 하자. 반대로 모든 값이 1 보다 작으면, 그들의 곱도 1 보다 작아지므로 적어도 하나는 1 보다 크거나 같다. 이것을 y_j라 하자.

즉, 1−y_i ≥ 0 이고 1−y_j ≤ 0 이다. 따라서, (1−y_i)(1−y_j) ≤ 0 이다. 이에 따라 다음이 성립한다.
\[1+y_i y_j \leq y_i + y_j \tag{1} \label{1}\]

1. i = j 이면, 첨자를 재배열하여 i=j=1 이라 하자. y₁≤1, y₁≥1 이므로 y₁=1 이다. 그러면 k개의 음이 아닌 실수 y₂, ⋯, y_k, y_k+1에 대하여 y₂⋯y_ky_k+1 = 1 이므로 귀납법 가정에 의하여 y₂ + ⋯ + y_k + y_k+1 ≥ k 이고, 등호는 y₂ = ⋯ = y_k = y_k+1 일 때만 성립한다.
   
   따라서 양변에 y₁=1을 더하면, y₁ + y₂ + ⋯ + y_k + y_k+1 ≥ k+y₁ = k+1 이다.
   
   그리고 y₂⋯y_ky_k+1 = 1 이므로 y₂ = ⋯ = y_k = y_k+1 이면, y₂ = ⋯ = y_k = y_k+1 = 1 이다. 그러므로 등호는 모든 값이 1일 때만 성립한다.
2. i ≠ j 이면, 첨자를 재배열하여 i=1, j=2 라고 하자. 그러면 부등식 \((\ref{1})\)은 1 + y₁y₂ ≤ y₁ + y₂ 가 되고 양변에 남은 값들을 더하면, 다음이 성립한다.
   \[y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \geq 1 + y_1 y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \tag{2} \label{2}\]
   그런데 k개의 음이 아닌 실수 y₁y₂, y₃, ⋯, y_k, y_k+1 에 대하여 (y₁y₂)y₃⋯y_ky_k+1 = 1 이므로 귀납법 가정에 의하여 다음 부등식이 성립한다.
   \[y_1 y_2 + y_3 + \cdots + y_k + y_{k+1} \geq k \tag{3} \label{3}\]
   단, 등호는 y₁y₂ = y₃ = ⋯ = y_k = y_k+1 일 때만 성립한다.
   
   두 부등식 \((\ref{2})\)와 \((\ref{3})\)을 결합하면, 다음이 성립한다.
   \[y_1 + y_2 + \cdots + y_{k+1} \geq k+1 \tag{4} \label{4}\]
   그리고 (y₁y₂)y₃⋯y_ky_k+1 = 1 이므로 y₁y₂ = y₃ = ⋯ = y_k = y_k+1 이면, y₁y₂ = y₃ = ⋯ = y_k = y_k+1 = 1 이다. 또한, 부등식 \((\ref{2})\)에서 등호는 y₁=1 또는 y₂=1 일 때만 성립한다. 그런데, "y₁=1 또는 y₂=1" 이고, y₁y₂ = 1 이면 y₁ = y₂ = 1 이다. 그러므로 부등식 \((\ref{4})\)에서 등호는 모든 값이 1일 때만 성립한다.

n=k+1인 경우에도 성립하므로 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. ∎

위 증명에서 "등호는 n개의 값이 모두 같을 때만 성립함"을 귀납법 가정에 포함하여 밝혔지만, 그러지 않고 따로 증명할 수도 있다.^[각주:2]

AM ≥ GM

n개의 음이 아닌 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

(x₁+x₂+⋯+x_n)/n ≥ (x₁x₂⋯x_n)^1/n

단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다.

---

⍺:= x₁x₂⋯x_n 라 하고, 임의의 i에 대하여 y_i:= x_i/⍺^1/n 라 하자. 그러면 각 y_i는 음이 아니고, y₁y₂⋯y_n=1 이다. 이는 보조정리의 조건을 충족한다. 그러므로, y₁ + y₂ + ⋯ + y_n ≥ n 이다. 즉, 다음이 성립한다.
\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{\alpha^{1/n}} \geq n\]
양변을 n으로 나누면,
\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n \alpha^{1/n}} \geq 1 = \frac{\alpha^{1/n}}{\alpha^{1/n}}\]
양변에 ⍺^1/n를 곱하면,
\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \alpha^{1/n}\]
⍺ = x₁x₂⋯x_n 이므로, AM ≥ GM 이 성립한다.

특히, 보조정리에 의하여 등호는 모든 y_i = x_i/⍺^1/n가 같을 경우에만 성립한다. 즉, 등호는 모든 x_i가 같을 경우에만 성립한다. ∎

GM ≥ HM

n개의 양의 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

(x₁x₂⋯x_n)^1/n ≥ n/(1/x₁+1/x₂+⋯+1/x_n)

단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다.

---

n개의 양의 실수 1/x₁, 1/x₂, ⋯, 1/x_n에 대하여 위에서 밝힌 AM≥GM에 의해 다음이 성립한다.

(1/x₁+1/x₂+⋯+1/x_n)/n ≥ 1/(x₁x₂⋯x_n)^1/n

이제 양변의 역수를 생각하면 자명하다. 등호 역시 AM≥GM에 의해 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다. ∎

---

아래는 'Paul J. Nahin'의 《최상의 최소》의 부록B에 수록된 AM≤QM의 증명을 바탕으로 재구성한 것이다.

AM ≤ QM

n개의 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

(x₁+x₂+⋯+x_n)/n ≤ ((x₁² +x₂²+⋯+x_n²)/n)^1/2

단, 등호는 n개의 값이 모두 같을 때에만 성립한다.

---

AM을 제곱하면,
\[\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{2} = \frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} x_i x_j \right)\]
그리고 실수의 제곱은 음이 아니므로, 0 ≤ (x_i−x_j)² = x_i²+x_j²−2x_ix_j 이다. 즉, 2x_ix_j ≤ x_i²+x_j² 이 성립한다. 특히, 등호는 x_i=x_j 일 경우에만 성립한다. 그러므로, 다음의 부등식이 성립하고 등호는 모든 x_i의 값이 같은 때에만 성립한다.
\[\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{2} \leq \frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) \right)\]
위 부등식의 우변은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[\frac{1}{2n^2} \left( \sum_{i=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_i}^2 \right) + \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) \right) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right)}{2n^2}\]
따라서, 다음이 성립한다.
\[\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{2} \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right)}{2n^2}\]
그리고 \(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \left( {x_i}^2 + {x_j}^2 \right) = 2n \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2\) 이므로,
\[\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)^{2} \leq \frac{\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2}{n}\]
이제 위의 부등식에 제곱근을 취하면 AM≤QM을 얻게 된다. 그리고 위에서 밝혔듯이 등호는 모든 x_i의 값이 같은 때에만 성립한다. ∎

HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM 의 시각화

두 개의 양의 실수 a, b에 대하여 네 가지 평균을 아래와 같이 시각화 할 수 있다.

증명은 삼각형의 닮음비와 피타고라스의 정리를 통해 할 수 있고, 그리 어렵지 않으므로 생략한다.

1. 모든 값이 같으면, y₁y₂⋯y_n = 1 에 의하여 모든 값은 1이다. [본문으로]
2. 모든 값이 같다면, y₁y₂⋯y_n = 1 이므로 모든 y_i=1 이다. 즉, y₁ + y₂ + ⋯ + y_n = n 이다. 반대 방향은 수학적 귀납법을 이용하여 밝힐 수 있다.
   
   모든 자연수 n에 대하여 y₁y₂⋯y_n = 1 이고, y₁ + y₂ + ⋯ + y_n = n 이면, y₁ = y₂ = ⋯ = y_n 임을 밝혀보자.
   
   n=1이면, 자명하게 y₁=y₁ 이다. n=k인 경우에 성립한다고 하자. 이제 y₁y₂⋯y_ky_k+1 = 1 이고, y₁ + y₂ + ⋯ + y_k + y_k+1 = k+1 이 되는 k+1 개의 음이 아닌 실수 y₁, y₂, ⋯, y_k, y_k+1에 대하여 생각하자.
   
   어떤 y_i=1이면, 첨자를 재배열하여 i=1이라 하자. 그러면 y₂⋯y_ky_k+1 = 1 이고, y₂ + ⋯ + y_k + y_k+1 = k 가 되므로, 귀납법 가정에 의하여 y₂ = ⋯ = y_k = y_k+1 이다. y₂⋯y_ky_k+1 = 1 이므로 모든 값은 1이다.
   
   정반대로 모든 y_i가 1이 아니라면, 보조정리의 증명에서 추론한 것과 마찬가지로 모든 값이 1 보다 클 수도 없고, 반대로 1 보다 작을 수도 없다. 그러므로 1보다 큰 값도 작은 값도 존재한다. 따라서, 첨자를 재배열하여 1−y₁ < 0, 1−y₂ > 0 이라 할 수 있다. 즉, (1−y₁)(1−y₂) < 0 이다. 그러므로 1 + y₁y₂ < y₁ + y₂ 이다.
   
   양변에 남은 값을 더하면,
   
   1 + y₁y₂ + y₃ + ⋯ + y_k + y_k+1 < y₁ + y₂ + y₃ + ⋯ + y_k + y_k+1 = k+1
   
   즉, y₁y₂ + y₃ + ⋯ + y_k + y_k+1 < k 이다. 그런데, (y₁y₂)y₃⋯y_ky_k+1=1 이므로 보조정리의 부등식에 대한 결과에 따르면 y₁y₂ + y₃ + ⋯ + y_k + y_k+1 ≥ k 이다. 이는 명백한 모순이므로, 모든 y_i가 1이 아니라는 가정은 불가능하다.
   
   따라서 n=k+1인 경우에도 성립하므로 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. [본문으로]