2014년 2월 20일에 작성한 텀블러 포스트이다.
다음은 구글에서 찾은 pdf 파일1에 있는 정리다. 잘 알려진 형태의 "슈톨츠-체사로 정리"는 영문 위키의 "Stolz–Cesàro theorem"에서 볼 수 있고, 이는 아래의 정리와 동치다. 특히, 아래의 정리는 '가비의 리'를 일반화 시킨 것으로 볼 수도 있다.
임의의 실수열 (an)과 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n = +\infty\) 을 만족하는 양의 실수열 (bn)에 대하여 만약 수열 (an/bn)이 수렴하면, 다음이 성립한다.
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_n }{ b_1 + b_2 + \cdots + b_n } = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{ a_n }{ b_n } \tag{1} \label{1}\]
사실 위 정리에 대한 '놀라운' 증명 아이디어를 "Todd and Vishal's blog"에서 찾게 되어 본 포스트를 작성하게 되었다. 증명은 다음과 같다.
ε > 0 이라 하자.
L := lim an/bn 이라 하면 어떤 자연수 N > 1 이 존재하여 다음이 성립한다.
\[n \geq N \implies \left| \frac{ a_n }{ b_n } - L \right| < \frac{ \varepsilon }{6}\]
즉, ∀n ≥ N 에 대하여 an/bn ∈ (L−ε/6, L+ε/6) =: Vε/6(L) 이다.
따라서 앞서 포스팅한 '가비의 리'에 있는 정리를 귀납적으로 적용하면 다음이 성립한다.2
\[n \geq N \implies \frac{ a_{N} + a_{N+1} + \cdots + a_{n} }{ b_{N} + b_{N+1} + \cdots + b_{n} } \in V_{ \varepsilon /6}( L )\]
\(A_n := \sum_{k=1}^{n} a_k\), \(B_n := \sum_{k=1}^{n} b_k\) 라 하면 위 명제는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[n \geq N \implies \frac{ A_n - A_{ N-1 } }{ B_n - B_{ N-1 } } \in V_{ \varepsilon / 6}( L ) \tag{2} \label{2}\]
한편, \(\lim B_n = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = +\infty\) 이므로 n이 충분히 크면 다음과 같이 근사할 수 있다.
\[\frac{ A_n - A_{ N-1 } }{ B_n - B_{ N-1 } } = \cfrac{ \cfrac{ A_n }{ B_n } - \cfrac{ A_{ N-1 } }{ B_n } }{ 1 - \cfrac{ B_{ N-1 } }{ B_n } } \approx \frac{ A_n }{ B_n }\]
따라서 n이 충분히 크면 An/Bn ∈ Vε/6(L) 이므로 증명은 끝난다.
근사 과정에 대해서 좀 더 엄밀한 증명을 할 수도 있다. 사실 이를 위해 위에서 일부러 ε대신에 ε/6을 사용하였다. 간결한 설명을 위해 다음과 같이 기호를 정하자. 그리고 L≠0 이라 가정하자.
- Cn := An/Bn
- γn := AN-1/Bn
- δn := BN-1/Bn
lim Bn = +∞ 이므로 lim γn = lim δn = 0 이다. 따라서 어떤 자연수 K1, K2가 존재하여 다음을 만족한다.
\[n \geq K_1 \implies | \gamma_n | < \frac{ \varepsilon }{3} \tag{3} \label{3}\]
\[n \geq K_2 \implies | \delta_n | < \frac{ \varepsilon }{ 3 | L | } \tag{4} \label{4}\]
또한, lim δn = 0 에 대하여 ε=1 일때, 적당한 자연수 K3가 존재하여 다음을 만족한다.
\[n \geq K_3 \implies | \delta_n | < 1 \tag{5} \label{5}\]
그리고 명제 \((\ref{2})\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[n \geq N \implies \left| \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right| < \frac{ \varepsilon }{6} \tag{6} \label{6}\]
이제 모든 준비가 끝났다. n ≥ K := max{N, K1, K2, K3} 라 하자.
|Cn−L| = |Cn −γn −L +γn| 에 삼각부등식을 적용하면 다음이 성립한다.
|Cn−L| ≤ |Cn −γn −L| + |γn|
윗식의 우변을 변형하고 다시 삼각부등식을 적용한 후에 명제 \((\ref{5})\), \((\ref{6})\), \((\ref{4})\), \((\ref{3})\)을 적용하면 다음이 성립한다.
\[\begin{aligned}
& | C_n - \gamma_n - L | + | \gamma_n | \\
& = \left| (1 - \delta_n ) \left( \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right) - \delta_n L \right| + | \gamma_n | \\
& \leq (1 + | \delta_n | ) \left| \frac{ C_n - \gamma_n }{ 1 - \delta_n } - L \right| + | \delta_n | | L | + | \gamma_n | \\
& < 2 \frac{ \varepsilon }{6} + \frac{ \varepsilon }{3 | L | } | L | + \frac{ \varepsilon }{3} = \varepsilon
\end{aligned}\]
그리고 L=0 일때는 명제 (4)를 지우고, 위의 마지막 부등식의 우변(RHS: right-hand side)을 다음으로 바꾸면 충분하다.
\[2 \frac{ \varepsilon }{6} + 1 \cdot 0 + \frac{ \varepsilon }{3} < \varepsilon\]
다시말해 n ≥ K 이면, |Cn−L| < ε 이다. 즉,
\[n \geq K \implies \left| \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_n }{ b_1 + b_2 + \cdots + b_n } - L \right| < \varepsilon\]
그러므로 최종적인 식 (1)이 성립한다. ∎
- 미국 캔자스(Kansas) 주립대학 수학과의 'Gabriel Nagy' 교수가 작성한 것 같다. [본문으로]
- 바로 이것이 그 놀라운 아이디어다. [본문으로]