이어붙인 정다각형
설명
- 앞서 '별을 품은 정다각형'에서 한 외각의 크기가 180이하의 양의 정수 k°일 때, 필요한 변의 개수를 알아봤다.
- 필요한 변의 개수는 k×n이 k와 360의 최소공배수가 되는 n이다.
- 그 이유는 거북이가 정다각형의 둘레를 따라 걸을 때, 회전각의 합이 360°의 배수가 되기 때문이었다.
- 비슷한 원리를 적용할 수 있는 도형이 있다. 정다각형의 변을 딱 맞춰서 이어붙여 만드는 대칭 도형이다.
- 마찬가지로 한 외각의 크기를 k°라 할 때, 이번에는 한 내각의 크기 (180-k)°에 주목하자.
- 정다각형을 변을 딱 맞춰서 이어붙이면 한 꼭짓점에 정다각형이 모여있게 된다.
- 특히, 모여있는 꼭짓점의 중심각의 크기가 이어붙인 정다각형의 개수만큼 누적된다.
- 또한, 이어붙여서 겹치지 않고 딱 맞게 대칭 도형이 완성되는 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형에 불과하다.
- 그러면, 정다각형이 겹치는 것은 무시하고 이어붙이면서 대칭 도형이 되기 위해서는 몇 번을 이어붙여야 할까?
- 또 다시 거북이의 회전각의 합이 360°의 배수가 되는 상황으로 이해할 수 있다.
- 정다각형의 한 내각의 크기가 거듭 더해지고, 이 합이 360°의 배수가 되어야하기 때문이다.
- 따라서 대칭 도형이 되기 위해 필요한 정다각형의 개수는,
- 한 내각의 크기 (180-k)°에 대하여,
- (180-k)°×m이 (180-k)와 360의 최소공배수가 되는 m이다.
이어붙인 정다각형 모아보기
설명
- 위에서는 한 가지 대칭 도형씩 봤고, 여기서는 여러 대칭 도형을 모아본다.
참고
- 정중기(2019). 정다각형 회전 with AlgeoMath.