2014년 2월 9일에 작성한 텀블러 포스트이다.
이탈리아의 수학자 Alessandro Padoa(1868~1937)의 이름이 붙은 부등식이 있다. 'Paul J. Nahin'의 "When Least is Best"에는 부록 I에서 이 부등식을 다루고 있다. 그런데 이상하게도 번역서 《최상의 최소》에는 부록 I가 없다. 원서가 개정이 되어서인지도 모르겠다.
영문 위키에서도 이 주제에 대한 글이 없어서, 이 글을 쓰게 되었다. 증명은 간단하다. 삼각형의 세 변의 길이에 대한 아래 부등식의 의미를 음미해보자.
파도아의 부등식 (Padoa's Inequality)
임의의 삼각형의 세 변의 길이 a, b, c에 대하여 다음이 성립한다.
abc ≥ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
단, 등호는 a=b=c 일 때만 성립한다.
임의의 주어진 삼각형의 내심을 P라 하자. 그리고 P에서 세 변에 각각 수선을 내리자. 세 수선의 발에 의하여 세 변을 아래의 그림과 같이 나타낼 수 있다.
- a = y + z
- b = z + x
- c = x + y
'산술-기하 평균 부등식'에 의하여, 다음이 성립한다.
- \(a \geq 2\sqrt{yz}\) 단, 등호는 y=z 일 때만 성립한다.
- \(b \geq 2\sqrt{zx}\) 단, 등호는 z=x 일 때만 성립한다.
- \(c \geq 2\sqrt{xy}\) 단, 등호는 x=y 일 때만 성립한다.
따라서, \(abc \geq 2^3 \sqrt{ (xyz)^2 } = 2^3 xyz\) 가 성립하고 등호는 x=y=z 일 때만 성립한다. 특히, x=y=z 일 필요충분조건은 a=b=c 이다.
한편, 맨 위의 세 방정식을 연립하면 다음을 얻는다.
- 2x = b + c - a
- 2y = c + a - b
- 2z = a + b - c
그러므로 abc ≥ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 이고, 등호는 a=b=c 일 때만 성립한다. ∎