2014년 1월 23일에 작성한 텀블러 포스트이다.

'Cut-The-Knot'의 'Parabola'를 번역해봤다. 포물선에 관한 성질 뿐만 아니라 기하학에 관해 모르고 있었던 정의가 많아서 생각보다 공을 많이 들이게 되었다.

정리1

점 A가 포물선 위에 있다고 하자. A에서 포물선에 대한 접선은 ∠FAA′의 이등분선이다.

정의에 의하여, △FAA′는 이등변 삼각형이다. 점 T를 선분 FA′의 중점이라고 하자. 그러면 FA′의 수직이등분선 AT는 평면을 두 부분으로 나눈다.

① A′ 보다 F에 가까운 점들
② F 보다 A′에 가까운 점들

점 B가 포물선 위에 있다고 하자. 선분 BB′는 B와 준선 위의 모든 점 중에서 최소이므로, FB = BB′ < BA′. 따라서, A를 제외한 포물선 위의 모든 점은 ①에 속한다.

특히, 등호는 B = A일 때만 성립하므로 B는 직선 AT에 속하지 않는다. 그러므로 A는 AT와 포물선의 유일한 교점이다. 따라서 AT는 A에서 포물선에 대한 접한다.

따름정리 (포물면 거울)

만약 발광체가 포물선의 초점에 있고 포물선이 빛을 반사한다면, 반사광선은 포물선의 축과 평행하다. 전파 망원경은 이 원리를 거꾸로 적용한 것이다. 포물선의 축과 평행하게 들어오는 신호는 모두 초점을 통과한다.

따름정리 (포락선으로서 포물선)

x축은 초점과 준선의 중간에 있다. 따라서, 선분 FA′의 중점 T는 x축 위에 있다. 게다가, 선분 FT는 점 A에서의 접선 AT와 수직이다. 이제 역으로 그러한 점과 직선이 주어졌다고 하자. (주어진 점과 직선을 각각 F와 x축이라고 하자.) F와 x축 위의 임의의 점 T를 잇고, T에서 FT에 수직인 직선 t를 그리자. 그러한 직선들은 포물선의 윤곽을 그린다. 이것은 초점이 F이고, 꼭짓점이 x축 위에 있는 포물선이다. 이러한 포물선을 직선들의 집합 {t}의 포락선이라고 한다. 그리고 이런 식으로 포물선을 구하는 과정은 수족 구성(pedal construction)이라고 불린다. 또한, x축은 포물선의 초점에 대한 수족 곡선(pedal)이라고 불린다.

따름정리 (종이접기로 만든 포물선)

이제 초점과 준선이 종이 위에 그려진 포물선을 생각하자. △FAA′는 이등변이고, AT는 이것의 수직이등분선이므로, AT를 따라 종이를 접을 수 있다. 그러면 접은 자국이 남는데, 이는 바로 AT이다.

이것은 종이선(paper line)이라고 알려진 수학적 대상의 특수한 경우이다. 종이점(paper point)은 두 종이선의 교점이다. 종이점과 종이선(또한, 종이원(paper circle)도 있다.)을 이용해 그리는 일은 1893년에 인도에서 T. Sundra Row에 의해 소개되었다. 최초로 종이접기가 엄밀하게 다뤄진 것은 R. C. Yates (1949) 덕분이다. 잘 알려진 종이접기의 공리계는 Humiaki Huzita(1991)에 의해 만들어졌다.

처음으로 돌아가서 만약 포물선이 주어지지 않고 한 점과 한 직선만 있다면, 직선과 점이 겹치도록 종이를 접어서 많은 자국을 낼 수 있다. 그 때, 종이선의 포락선으로서 포물선이 나타난다. 그리고 점을 직선위에 놓을 것인지 직선을 점위 놓을 것인지는 중요하지 않지만, 종이의 모서리를 주어진 직선으로 놓고 직선을 점 위에 놓도록 점는 것이 실용적이다.

아르키메데스 삼각형

아르키메데스는 포물선의 두 접선과 접점을 잇는 현으로 이루어진 삼각형을 이용하여 포물선(parabolic segment)의 넓이에 관한 연구를 했다. 따라서 그의 이름이 붙여졌다. 보통 현을 삼각형의 밑변으로 생각한다.

아르키메데스의 보조정리

아르키메데스 삼각형 △ABS에서 M을 밑변의 중점이라 하자. SM은 O에서 포물선을 지난다고 하고, O에서 포물선의 접선과 △ABS의 교점을 그림과 같이 A1과 B1이라고 하자. 그러면,

  1. 중선 MS는 포물선의 축과 평행하다.
  2. A1과 B1은 AS와 BS의 중점이다.
  3. O는 MS의 중점이다.
  1. △A′B′F에서 AS와 BS는 각각 A′F와 B′F의 수직이등분선이다. AS와 BS는 S에서 만나고 따라서, S에서 A′B′에 내린 수직선은 A′B′를 이등분한다.[각주:1] 사다리꼴 ABB′A′에서 그 수직선은 AA′와 BB′에 평행하고, A′B′의 중점을 지난다. 따라서 이것은 AB의 중점 M을 지난다.
  2. △AA1O와 △BB1O도 아르키메데스 삼각형으로 생각할 수 있다. 따라서 첫 번째 보조정리를 적용하자. A1과 B1에서의 중선은 포물선의 축과 평행하다. 그런데, 그 중선들은 △AOS와 △BOS의 중선이 된다.
  3. 두 번째 보조정리에서 A1B1이 △ABS의 중점 연결선임을 밝혔다. 따라서 A1B1은 S의 모든 체바선(cevian)[각주:2]을 이등분한다. MS는 그러한 체바선 중에 하나이다.

정리2 (포물선의 넓이 구하기)

포물선은 아르키메데스 삼각형의 넓이를 2 : 1로 나눈다. 다시 말해, 포물선(parabolic segment) AB의 넓이는 아르키메데스 삼각형 △ABS의 넓이의 ⅔이다.

△ABS의 넓이를 1이라 하자. 미적분학이 발명되기 이천년전에, 아르키메데스는 포물선에 삼각형으로 채워서 삼각형의 넓이에 대한 기하급수를 이용해 포물선의 넓이를 구했다.

급수의 첫 번째 삼각형은 "안쪽 삼각형" △ABO이다. 보조정리에 의해 △ABO의 넓이는 ½이고, △A1B1S의 넓이는 ¼이다. 따라서 △AA1O와 △BB1O의 넓이의 합은 ¼이다.

△AA1O와 △BB1O는 위의 그림에서 색칠된 "안쪽 삼각형"을 가진 아르키메데스 삼각형이다. 색칠된 두 삼각형의 넓이의 합은 위와 같은 원리로 그들의 아르키메데스 삼각형의 넓이의 절반이므로 ½ × ¼이다. 이것은 급수의 두 번째 항이다.

그 다음 항은 넓이의 총합이 ¼인 이전 항의 두 아르키메데스 삼각형에 대한 네 개의 더 작은 아르키메데스 삼각형들의 "안쪽 삼각형"의 넓이의 합이다. 따라서 그 넓이는 ½ × ¼² 이다. 이와 같은 과정을 계속하면 포물선(parabola segment)의 넓이는 다음과 같다.

½(1 + ¼ +¼² + ⋯ ) = ⅔.

정리3 (같은 각 및 닮은 삼각형)

두 점 A와 B가 포물선 위에 있고, 그 접선 AS와 BS가 S에서 만난다고 하자. 그러면,

  1. S는 △A′B′F의 외접원의 중심이다.
  2. ∠FAS = ∠FA′B′ = ∠FSB
  3. ∠FBS = ∠FB′A′ = ∠FSA
  4. △BFS ~ △SFA ~ △B′FA′
  5. F가 AB 위에 있을 필요충분조건은 S가 A'B' 위에 있는 것이다. 이 때, ∠ASB = 90° 이다.
  1. 정리1에 의하여 SA는 FA′의 수직이등분선이므로 SA′ = SF 이다. 비슷하게 SB′ = SF 이다.
  2. 원주각 ∠FA′B′와 중심각 ∠FSB′는 같은 현을 가지므로,
    ∠FSB = ½∙∠FSB′ = ∠FA′B′.
    한편, ∠FA′B′와 ∠SAA′는 쌍마다 서로 수직이되는 다리(leg)[각주:3]를 가지므로 같은 각이다. ∠SAA′ = ∠FAS 이므로, ∠FA′B′ = ∠FAS 이다.
  3. 2와 비슷한 방법으로 증명된다.
  4. 2와 3에 의해 △BFS, △SFA, △B′FA′는 서로 닮음이고, 같은 방향을 가지고 있다. △SA′A와 △BB′S도 앞의 세 삼각형과 닮음이지만, 방향은 다르다.
  5. 표현의 간결함을 위해 a = ∠FAS, b = ∠FBS 라고 하자. 만약 S가 준선 위에 있다면, 2(a + b) = 180° 이다. 그러면 ∠AFS = (90° - a) + (90° - b) = 90° 이다. 비슷하게 ∠BFS = 90° 이다. 따라서 AFB는 직선이다. 역은 증명의 역순이 되므로 명백하다.

준선은 초점의 극선[각주:4]이다

5를 바꿔 말하면, 초점을 지나는 현의 양 끝점에서의 두 접선은 준선에서 만난다고 할 수 있다. 이것은 확실히 초점이 준선의 극점인 동시에 준선이 초점의 극선이 됨을 의미한다.

람베르트의 정리 (Lambert's theorem)

포물선의 세 접선으로 이루어진 삼각형의 외접원은 포물선의 초점을 지난다.

C에서의 접선이 접선 AS와 BS와 각각 점 U와 V에서 만난다고 하자. 정리3을 적용하면, ∠FSU = ∠FBS = ∠FVU 이다. 따라서 사변형(quadrilateral) SUFV는 한 원에 내접한다(quadrilateral is cyclic).
원접사변형 (Cyclic quadrilateral)
유클리드 기하학에서 원접사변형(Cyclic quadrilateral) 또는 내접사변형(Inscribed quadrilateral)은 사변형의 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 것이다. 이 원은 외접원(Circumcircle) 또는 외접된 원(Circumscribed circle)이라고 불리며 이 때, 꼭짓점은 동일원 위의 점(Concyclic)[각주:5]이라고 불린다. 원의 중심과 그 반지름은 각각 외심(Circumcenter)과 외접원의 반지름(Circumradius)이라고 불린다. 이러한 사변형은 동일원의 사변형(Concyclic quadrilateral)과 현의 사변형(Chordal quadrilateral)이라고도 불리는데, 후자는 사변형의 네 변이 모두 외접원의 현이 되기 때문이다. 일반적인 사변형은 볼록으로 가정되어 있지만, 교차된(crossed)[각주:6] 원접사변형도 있다. 모든 삼각형은 원접원을 가지만, 모든 사변형에 대해서는 그렇지 않다. 원접이 아닌 사변형의 한 예는 정사각형이 아닌 마름모(non-square rhombus)이다.

x축은 초점에 대한 심슨 직선(Simson line)이다

위의 따름정리 '포락선으로서 포물선'에서 봤듯이 x축은 초점에 대한 포물선의 수족 곡선이다. 다른 말로 하면, x축은 초점에서 포물선의 접선에 내린 수선의 발로 이루어진다. 이것은 x축이 포물선에 접하는 임의의 세 접선으로 이루어진 삼각형의 외접원 위의 초점에 대한 심슨 직선임을 의미한다.

네 개의 접선의 포물선

람베르트의 정리는 네 개의 접선으로 부터 포물선을 만들 수 있게 한다. 임의의 세 접선은 초점 F를 지나는 한 원을 결정한다. 이를 만족하는 두 원은 F를 유일하게 결정한다. 그리고 임의의 두 접선에 F를 대칭시킨 두 점은 준선 위에 있다.

아폴로니우스의 정리 (Apollonius' Theorem)

포물선의 두 접선은 세 번째 접선에 의해 같은 비율의 선분으로 나뉘고, 그 세 번째 접선은 접점에서 같은 비율로 나뉜다. 정확하게는 다음과 같다.
\[\frac{AU}{US}=\frac{UC}{CV}=\frac{SV}{VB}\]

세 삼각형 △AFS, △SFB, △UFV는 서로 닮음이다. 더욱이, 꼭짓점 A, U, S는 동일 직선 상에 있고, 꼭짓점 S, V, B에 대해서도 마찬가지다. 꼭짓점 F는 세 삼각형이 모두 공유한다.

이러한 상황은 '직접 닮은 도형의 정리'를 생각나게 한다. 그 정리의 역은 다음을 함의한다.
\[\frac{AU}{US}=\frac{SV}{VB} \tag{1} \label{1}\]
같은 방법을 접선 AUS에 의해 잘린 접선 BV와 CV에 적용하면 다음을 얻는다.[각주:7]
\[\frac{CU}{UV}=\frac{VS}{SB}\]
이는 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[\frac{UV}{CU}-1=\frac{SB}{VS}-1\]
\[\frac{CV}{UC}=\frac{UV}{CU}-1=\frac{SB}{VS}-1=\frac{VB}{SV} \tag{2} \label{2}\]
\((\ref{1})\)과 \((\ref{2})\)에 의해 정리가 증명된다.

포락선으로서 포물선 Ⅱ

포물선 위의 두 점 A, B와 각 점에서의 접선 AS, BS가 주어졌다고 하자. 자연수 n을 정하고 AS와 BS를 n등분하자. AS의 등분된 각 점에 S부터 차례로 1, 2, 3, ⋯ 을 붙이고 BS 위에서는 B부터 차례로 1, 2, 3, ⋯ 을 붙이자. 이제 같은 숫자가 붙은 점을 양 끝점으로 하는 선분을 긋자. 아폴로니우스의 정리에 의해 그 선들은 포물선을 감싸게 된다(envelope the parabola).

단순히 두 선분 AS와 BS에서 시작한다면, 점 A와 B에서 접하는 포물선이 나타나게 된다.

  1. △A′B′F의 외심이 S라는 말이다. [본문으로]
  2. 체바선(Cevian)
    체바선은 삼각형에서 한 꼭짓점이 끝점이고 남은 끝점은 대변 위에 있는 선분이다. 중선과 높이, 각의 이등분선은 체바선의 특별한 경우들이다. 이름은 이탈리아의 수학자 지오바니 체바(Giovanni Ceva)의 이름에서 유래했다. 체바는 체바선에 관한 유명한 체바의 정리를 증명했다. [본문으로]
  3. 다리(Leg)
    직각삼각형에서 직각을 만드는 두 변 중 하나 즉, 예각의 대변이다. [본문으로]
  4. 극점과 극선(Pole and Polar)
    기하학에서, 극점(Pole)과 극선(Polar)이라는 용어는 주어진 원추곡선에 대한 유일한 상반 관계를 갖는 점과 직선을 표현하기 위해 사용된다. 예를 들어, 원추곡선 위에 점의 극선은 그 점에서 원추곡선의 접선이라고 할 수 있다.
    주어진 원에 대하여 원에서의 교환(reciprocation)은 평면의 각 점을 그 점의 극선으로 변환하고, 평면의 각 직선을 그 직선의 극점으로 변환하는 것을 의미한다. [본문으로]
  5. 동일원 위의 점 (Concyclic 또는 Cocyclic) : 기하학에서 동일한 원 위의 점들의 집합 [본문으로]
  6. 사변형은 단순(simple: 스스로 교차되지 않음)하거나 비단순(complex: 스스로 교차됨)하다. 비단순은 교차(crossed)되었다고도 한다. (원문, 교차된 사변형의 예) [본문으로]
  7. 세 삼각형 △BFV, △VFC, △SFU는 서로 닮음이기 때문이다. 닮음이 되는 이유는 다음과 같다. 정리3에 의해 △BFV ~ △VFC이다. 그리고 정리3에 의해 ∠FCU = ∠FUA이므로 ∠FCV = ∠FCS이다. 또한 정리3에 의해 ∠FBS = ∠FSU이므로 △SFU는 위의 두 삼각형과 닮음이다. [본문으로]

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