점 P에서 선분 BC에 평행하게 직선을 그어 선분 OB와의 교점을 Q라 둔다. 그리고 △OQP의 외접원 O2를 그린다.
O2와 선분 AB의 교점을 D라 두고 선분 DP를 그린다. 선분 DP와 선분 AC의 교점을 E라 두면, DB = EC 가 된다.
이 풀이의 핵심은 3단계이다. 그러나 만약 3단계에서 작도하는 Q가 O와 같다면, △OQP는 선분 OP로 퇴화된다. 즉, 만약 P가 O의 원 O1의 접선 위에 있다면 이 풀이는 바르게 작동하지 않는다.
반면에 "P가 O의 원 O1의 접선 위에 있을 수 없다"라고 주장할 수도 있다. 달리 말하면 P가 O의 원 O1의 접선 위에 있다고 가정할 때, BD=CE가 되는 P, D, E를 지나는 직선 ℓ이 존재하지 않는다는 것이다.
그러나, '문제의 일반화'에서 밝혀지겠지만 P의 위치에 따라 직선 ℓ이 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다.
결론을 내려보면, ❶의 풀이는 P가 위의 그림과 같은 경우에만 성립하고, P의 위치가 바뀌면 성립의 유무는 경우마다 다르다. 이것이 내가 생각하는 약점이다.
하지만, 주어진 그림에서 푸는 문제이므로 풀이는 틀림없이 정답이다.
한 가지 재밌는 점은 ❶에서 직접 언급하지는 않았지만, 회전 중심이 두 원의 교점으로 묘사되어있다는 것이다. 이는 사실 나선 변환의 중심을 찾는 방법이다. 회전 중심은 나선 변환의 중심의 특별한 경우이므로 ❶은 훌륭한 단서를 남긴 셈이다.
❷의 강점 그리고 남겨진 숙제
우선 ❷의 풀이과정을 보자. 통일성을 위해 '위버 맨쉬'의 기호를 바꿨고, 말을 조금 수정했다.
❷의 풀이과정
SB=AC를 만족하는 점 S를 선분 AB 위에 잡는다. 선분 AS의 수직 이등분선을 그린다.
선분 BC의 수직이등분선을 그린다. 선분 AS의 수직이등분선과 만나는 점을 O라 하자.
선분 MN을 그린다. (M는 AS의 중점, N는 BC의 중점이다.)
선분 PO를 지름으로 하는 원을 그린다. 이 원과 선분 MN의 교점을 K라 하자.
직선 PK를 그린다. 직선 PK와 AB, AC가 만나는 점을 각각 D, E라 하자. 그러면 DB=EC 이다.
다음은 풀이에 대한 해설의 일부분이다. 말을 조금 수정했다.
DB=EC 일 때, 회전중심을 그리려면 DE의 수직이등분선과 BC의 수직이등분선이 만나는 점 O만 찾으면 된다.
B를 원점으로 두고 A를 (a, b), C를 (c, 0)으로 두고 DB=EC=d 라 놓고 풀면 회전 중심 O가 길이 d에 대한 항등식이 됨을 알수 있다. 즉, d와 관계없이 회전중심 O는 고정점이라는 것이다.
또 선분 DE의 중점을 직선 MN의 방정식에 넣게 되면 또 길이 d에 대한 항등식이 된다. 즉, d의 길이에 관계없이 선분 DE의 중점은 선분 MN상에 있다는 것이다.
그러므로 길이 d를 모르더라도 길이 d가 선분 AC와 같은 경우를 이용해서 점 S를 그리고 AS의 수직이등분선과 BC의 수직이등분선이 만나는 점 O를 그릴수 있으며, ∠OKP는 OP를 지름으로 하는 원의 지름에 대한 원주각이므로 직각이 되어 OK와 DE는 수직이 된다.
그런데 이렇게 되면 회전중심 O를 이용해 선분 DB와 EC가 같아지는 D와 E를 역으로 그리는 셈이 된다.
DE와 OK가 수직이므로 위의 항등식에 의해 곧 DE의 수직이등분선이 OK인 것이다. 그러므로 우리는 직선 PK를 그림으로서 원하는 D와 E를 얻게 되었다.
❷의 풀이에 가산점을 주고 싶은 이유는 이 풀이가 문제가 성립하는[각주:1] 임의의 P에 대하여 항상 잘 작동하기 때문이다. '일반화된 문제의 풀이'에서 자세히 알아보자.
❷에서 생략된 부분 증명
선분 MN이 DE의 중점의 자취임을 증명하기 위해 풀이의 해설에 나온 방법을 사용하면 대수식이 꽤나 복잡하다. 이를 대신할 몇 가지 다른 증명 방법에 대해 알아보자.[각주:2]
삼각함수를 이용한 증명 개요
B = (0, 0), C = (a, 0)
AB = r1, AC = r2
∠ABC = θ1, ∠ACB = θ2
0 < θ1 < θ2, θ1 + θ2 < π
△ABC를 위와 같은 조건을 주고 정하면, 다음이 성립한다.
(r1cosθ1, r1sinθ1) = A = (a - r2cosθ2, r2sinθ2)
이를 이용하면 선분 MN이 DE의 중점의 자취임이 증명된다. 그런데 이 방법도 대수식이 그리 간단하지는 않다.
복소평면을 이용한 증명
회전 중심 O를 복소평면의 원점이라 하자.
회전각을 θ라 하고, ω:=exp(iθ)라 하자.
선분 SB는 AC로 회전 이동되므로 A=ωS, C=ωB 이다.
선분 SB 위의 점 D, 선분 AC 위의 점 E에 대하여, DB=EC 라 하자. 그러면, D는 E로 회전 이동되므로 E=ωD 이다.
이제 AS의 중점 M과 DE의 중점 K 그리고 BC의 중점 N이 동일 직선 위에 있음을 밝히면 충분하다. 특히, 삼각형의 한 변 SB가 다른 변 AC 위로 회전 이동되므로, 0<θ<π 이다.
세 점 S, D, B는 동일 직선 위에 있으므로, 다음이 성립한다. \[\frac{D-B}{S-B} \in \mathbb{R}\] M=½(S+A), K=½(D+E), N=½(B+C)이다. 그리고 0<θ<π 이므로 ω ≠ -1 이다. 따라서, 다음이 성립한다. \[\begin{align} \frac{K-N}{M-N} & = \frac{(D-B)+(E-C)}{(S-B)+(A-C)} \\ & = \frac{D-B}{S-B}\frac{1+\omega}{1+\omega} \end{align}\] 그러므로, 다음과 같다. \[\frac{K-N}{M-N} = \frac{D-B}{S-B} \in \mathbb{R}\] 따라서, 세 점 M, K, N은 동일 직선 위에 있다. ∎
심슨 직선을 이용한 기하적 증명
다음의 보조정리를 증명하자.
보조정리
AB > AC인 임의의 △ABC에 대하여 AB 위에 SB=AC 를 만족하는 S를 잡고, BC의 수직이등분선과 AS의 수직이등분선의 교점을 O라 하자. BC의 중점을 N, AS의 중점을 M이라 하자. DB=EC를 만족하고 각각 SB와 AC 위에 있는 임의의 점 D, E에 대하여 DE의 중점을 K이라 하면, K는 MN 위에 있다.
선분 MN은 DE의 중점의 자취
가정에 의해 다음은 자명하다.
① SB=AC ② OB=OC ③ OS=OA ④ DB=EC
①, ②, ③에 의해 △OBS ≡ △OCA 이므로, ∠OBA = ∠OCA 이다. 이것과 ②, ④에 의해 △OBD ≡ △OCE 이므로, OD=OE 이다. K는 DE의 중점이고, △ODE는 DE를 밑변으로 하는 이등변삼각형이므로 K는 O에서 DE에 내린 수선의 발이다.
한편, ∠OBA = ∠OCA 는 네 점 O, B, C, A는 한 원 위에 있음을 말한다. 즉, O는 △ABC의 외접원 위에 있다. 또한 ④에 의해 SD=AE 이고, OD=OE 이고, ③이 성립하므로 △ODS ≡ △OEA 이다. 따라서 ∠ODA = ∠OEA 이다. 그러므로 네 점 O, D, E, A는 한 원 위에 있다. 즉, O는 △ADE의 외접원 위에 있다.
이제 H를 O에서 직선 AC 위에 내린 수선의 발이라 하면, △ABC에 대한 O의 [심슨 직선][sl]은 세 점 H, M, N을 지난다. 그리고, △ADE에 대한 O의 심슨 직선은 세 점 H, M, K를 지난다. 즉, 두 심슨 직선은 일치한다. 그러므로 세 점 M, K, N은 같은 직선 위에 있다. ∎
문제의 일반화
문제를 어떻게 일반화해야 할까? 고정된 것을 임의의 것으로 바꾸는 것이 타당해 보인다. 문제에서 고정된것은 △ABC와 점 P이다. 따라서 문제를 일반화하기 위해서는 다음의 두 가지를 해결해야 한다.
△ABC를 임의의 삼각형으로 생각하자.
P가 존재할 수 있는 영역을 찾자.
우선 임의의 △ABC를 편하게 다루기 위해 AB > AC라고 가정하자. AB < AC인 경우는 B와 C를 바꾸면 그만이므로 이러한 가정은 일반성을 잃지 않는다.[각주:3] 그리고 AB = AC인 경우에 P의 자취는 △ABC의 높이의 두께를 갖는 띠가 될 것임이 자명하다.
P가 존재할 수 있는 영역
DB=EC를 만족하는 두 점 D, E를 각각 선분 AB, AC 위에서 잡자. 이것은 문제의 필요조건이므로, 직선 DE 위에 P가 있어야 한다. 역으로 그러한 P에서는 분명히 문제의 조건을 만족하는 직선을 그을 수 있다. 그러므로 P가 존재할 수 있는 영역은 직선 DE의 자취와 같다.
우선 분명히 그 곡선은 직선 DE(= ℓ) 들의 모임 {ℓ}의 포락선(Envelope)이 된다. 앞에 있는 삼각함수를 이용하여 대수화하는 방법으로 직선 DE의 식을 매개변수 t := BD 로 나타내면 포락선을 구하는 방법으로 포락선이 포물선임을 알 수 있다.
그런데 이것을 기하적으로 보일 수는 없을까?
위의 보조정리를 통해 회전 중심 O에서 선분 DE에 내린 수선의 발 K가 항상 MN 위에 있임을 알 수 있었다. 이는 점 O에 대하여 직선 DE들의 모임의 포락선의 수족 곡선이 직선 LM임을 말한다. 그리고 전에 번역했던 Cut-The-Knot의 'Parabola'에 있는 정리1의 따름정리(포락선으로서 포물선)에는 포물선의 수족 구성(pedal construction)이 있다. 이를 통해, 구하려는 포락선이 초점이 O이고 꼭짓점의 접선이 MN인 포물선임을 알 수 있다. ∎
D=B, E=C 일 때, 직선 DE는 직선 BC이다. 그리고 D=S, E=A 일 때, 직선 DE는 직선 AB이다. 따라서, 포물선은 직선 BC와 직선 AB에 접한다. 또한, 위의 보조정리를 통해 O에서 직선 AC에 내린 수선의 발 H도 직선 MN 위에 있음을 알 수 있었다. 그러므로 포물선은 직선 AC에도 접한다. 정리하면, △ABC는 포물선의 세 접선으로 이루어진 삼각형이 된다. 람베르트의 정리는 이런 경우에 초점은 △ABC의 외접원 위에 있음을 말한다. 여기서 초점 O는 △ABC의 외접원 위에 있으므로 이를 통해 람베르트의 정리를 확인할 수 있다.
최종적으로 P가 존재할 수 있는 영역 \(\mathscr{R}\)이 결정하자. 평면 위의 영역 \(\mathscr{R}\)은 다음 영역들의 합집합이다.
직선 AB의 아랫 부분과 직선 BC의 윗 부분의 공통 부분
직선 AB의 윗 부분과 직선 BC의 아랫 부분의 공통 부분
포물선과 직선 AB, 직선 BC로 둘러싸인 부분
단, 포물선은 회전 중심 O가 초점이고, MN이 꼭짓점의 접선이다. 그리고 영역의 경계에 대해서는 세 번째 영역의 포물선의 경계와 직선 AB의 경계만을 포함하고, 나머지 모든 경계는 제외된다.
이제 문제를 일반화하기 위한 준비가 끝났다.
일반화된 문제와 그 풀이
앞서 준비한 준비물로 문제를 일반화하자.
AB > AC 인 임의의 △ABC와 영역 \(\mathscr{R}\)의 임의의 점 P가 있다. P에서 직선을 그어서 AB, AC와 각각 D, E에서 교차하여 DB=EC가 되게 하라.
드디어 ❷의 강점이 빛을 발할 때가 왔다. 일반화된 문제의 풀이는 원래 ❷의 풀이와 같다.
SB=AC를 만족하는 점 S를 선분 AB 위에 잡는다. 선분 AS의 수직 이등분선을 그린다.
선분 BC의 수직이등분선을 그린다. 선분 AS의 수직이등분선과 만나는 점을 O라 하자.
선분 MN을 그린다. (M는 AS의 중점, N는 BC의 중점이다.)
선분 PO를 지름으로 하는 원을 그린다. 이 원과 선분 MN의 교점을 K라 하자.
5. 직선 PK를 그린다. 직선 PK와 AB, AC가 만나는 점을 각각 D, E라 하자. 그러면 DB=EC 이다.
4단계가 의심스러울 수 있다. PO를 지름으로 하는 원과 선분 MN이 항상 교점을 가짐을 밝히자.
PO를 지름으로 하는 원을 OP라 하자. P ∈ \(\mathscr{R}\) 이므로 DB=EC를 만족하는 선분 AB 위의 어떤 점 D와 선분 AC 위의 어떤 점 E가 존재하여 세 점 P, D, E는 동일 직선 위에 있다. 그 동일 직선을 ℓ이라 하자. \(\mathscr{R}\)의 정의에 의해 ℓ과 선분 MN은 교점 K를 가진다. 보조정리에 의해 OK와 ℓ이 수직임을 알 수 있다. 즉, ∠OKD=90° 이다. 특히, 세 점 P, D, K는 직선 ℓ 위에 있으므로 ∠OKP=90° 이거나, P=K 이다.
전자의 경우 ∠OKP는 지름에 대한 원주각이므로 90°이다. 따라서, K는 원 OP 위의 점이다. 후자의 경우 자명하게 K(=P)는 원 OP 위의 점이다. ∎
